Térszög

Térszög

A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: $\mathrm{\Omega }=kS/r^2$ (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: $\mathrm{\Omega }=S/r^2=(4\pi r^2)/r^2=4\pi \mathrm{s}\mathrm{r}\approx 12,57\mathrm{s}\mathrm{r}$.

A térszög mérhető még négyzetfokban ($k=(180/\pi {)}^2$) vagy gömbrészben ($k=1/4\pi$).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

1. ${\mathrm{\Omega }}_{sr}=4\pi {\mathrm{\Omega }}_{gr}$ - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket $4\pi$-vel.
2. ${\mathrm{\Omega }}_{nf}=4\pi (180/\pi {)}^2{\mathrm{\Omega }}_{gr}=129600\pi {\mathrm{\Omega }}_{gr}$ - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket $4\pi (180/\pi {)}^2$, vagyis $129600\pi$-vel.

Definíció

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

$\mathrm{\Omega }:=\frac{S}{r^2}=\int \underset{A}{\int }\frac{\hat{\overrightarrow{n}}\cdot d\overrightarrow{A}}{{\rho }^2}$

ahol $\hat{\overrightarrow{n}}$ a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, $d\overrightarrow{A}$ infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások

• A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
• A gömbháromszögek gömbi feleslege
• Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
• Elektromos és mágneses térerősség
• Gauss-törvény

Más dimenziókban

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

${\mathrm{\Omega }}_d=\frac{2{\pi }^{d/2}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{d}{2}\right)}$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

${\mathrm{\Omega }}_d=\{\begin{array}{cc}\frac{d{\pi }^{d/2}}{\left(\frac{d}{2}\right)!}& d=\dot{2}\\ \frac{2^d\left(\frac{d-1}{2}\right)!}{(d-1)!}{\pi }^{(d-1)/2}& d\ne \dot{2}\end{array}$

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a $[-1,1]$ intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei

Tetraéder

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A ${\vartheta }_a$ szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a ${\vartheta }_b,{\vartheta }_c$ szögeket. Jelölje ${\phi }_{ab}$ az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a ${\phi }_{bc},{\phi }_{ac}$ szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

$\mathrm{\Omega }={\phi }_{ab}+{\phi }_{bc}+{\phi }_{ac}-\pi .$

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

$\sum _{i=1}^4{\mathrm{\Omega }}_i=2\sum _{i=1}^6{\varphi }_i-4\pi$

ahol ${\varphi }_i$ végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.: A fenti jelölésekkel

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{1}{2}\mathrm{\Omega }\right)=\frac{[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]}{abc+(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})c+(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})b+(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})a},$

ahol

$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]$

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a ${\vartheta }_a,{\vartheta }_b,{\vartheta }_c$ szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{1}{4}\mathrm{\Omega }\right)=\sqrt{\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{{\vartheta }_s}{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{{\vartheta }_s-{\vartheta }_a}{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{{\vartheta }_s-{\vartheta }_b}{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{{\vartheta }_s-{\vartheta }_c}{2}\right)}$

ahol

${\vartheta }_s=\frac{{\vartheta }_a+{\vartheta }_b+{\vartheta }_c}{2}$

Kúp, gömbsüveg, félgömb

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A $2\theta$ csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

$\mathrm{\Omega }=2\pi (1-\cos \theta ).$

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sin {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }d\varphi =2\pi \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\sin {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }=2\pi {[-\cos {\theta }^{\prime }]}_0^{\theta }=2\pi (1-\cos \theta ).$

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

$2r\sin \left(\frac{\theta }{2}\right).$

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

$\mathrm{\Omega }=4\pi {\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=2\pi (1-\cos \theta ).$

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

$4\pi -\mathrm{\Omega }=2\pi (1+\cos \theta ).$

A Föld felszínén a $\theta$ szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

$\frac{1}{2}(1+\cos \theta ).$

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramis

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

$\mathrm{\Omega }=4\arcsin (\sin \frac{a}{2}\sin \frac{b}{2}).$

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramis magassága d, akkor a térszög:

$\mathrm{\Omega }=4\arcsin \frac{\alpha \beta }{\sqrt{(4d^2+{\alpha }^2)(4d^2+{\beta }^2)}}.$

Szélességi-hosszúsági téglalap

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

$(\sin {\phi }_N-\sin {\phi }_S)({\vartheta }_E-{\vartheta }_W)$, ahol ${\phi }_N$ és ${\phi }_S$ a határoló északi és déli szélességi kör, és ${\vartheta }_E$ és ${\vartheta }_W$ a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy ${\phi }_N-{\phi }_S$ hosszú körívet jelent, ami ${\vartheta }_E-{\vartheta }_W$ radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6Sablon:E szteradiánt.

Források

• Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
• F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
• Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.