Téglalapszámok

A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok, melyek felírhatók két, egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként, tehát Sablon:Math alakban. Már Arisztotelész is tanulmányozta őket. A téglalapszámok általánosíthatók az Sablon:Math alakú számokra.

Az első néhány téglalapszám:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … Sablon:OEIS.

Figurális számokként

Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal, a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták, felfedezésük még korábbra, a püthagoreusokhoz köthető. A sokszögszámok mintájára:

1×2	2×3	3×4	4×5

Az Sablon:Mvar-edik téglalapszám épp kétszerese az Sablon:Mvar-edik háromszögszámnak és Sablon:Mvar-nel haladja meg az Sablon:Mvar-edik négyzetszámot, ami az alternatív Sablon:Math képletükből is világos. Az Sablon:Mvar-edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám Sablon:Math és az Sablon:Math-edik középpontos hatszögszám közötti különbség.

Első Sablon:Mvar téglalapszám összege

A téglalapszámok egy részösszegének vizuális ábrázolása

A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak, ahogyan az ábrán látható. Az első Sablon:Mvar téglalapszám összegét meghatározhatjuk, ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket.

A nagy téglalap területe $(1+2+\cdots +n)\cdot (n+1)=\frac{n(n+1{)}^2}{2}$.

Megfigyelhető, hogy a felesleges részek területei soronként az első 1, 2, ..., n-1 pozitív szám összegei, azaz $(1)+(1+2)+\cdots +(1+2+\cdots +n-1)=\frac{1(2)}{2}+\frac{2(3)}{2}+\cdots +\frac{n(n-1)}{2}$.

Továbbá látható, hogy a felesleges részek pontosan az első Sablon:Mvar téglalapszám összegének a fele.

Ekkor ha $f(n)$ az első Sablon:Mvar téglalapszám összegét adja meg, akkor $f(n)=\frac{n(n+1{)}^2}{2}-\frac{f(n-1)}{2}$.

Felhasználva, hogy $f(n)=f(n-1)+n(n+1)$ és az algebra szabályait segítségül hívva:

$f(n)=\frac{n(n+1{)}^2-f(n)+n(n+1)}{2}$

$2f(n)=n(n+1{)}^2-f(n)+n(n+1)$

$3f(n)=n(n+1{)}^2+n(n+1)$

$3f(n)=n(n+1)(n+1+1)$

$f(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Azaz

$\sum _{i=1}^{n}i(i+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Reciprokösszegek

Az első Sablon:Mvar pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$

$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

$=\frac{1}{1}+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1})+(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n})-\frac{1}{n+1}$

$=1-\frac{1}{n+1}$

$=\frac{n}{n+1}$

Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege 1:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i(i+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{n+1}=1$

Általánosítás

A téglalapszámok általánosíthatóak $n(n+k)$ alakúra, ahol $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Ebben az esetben az első Sablon:Mvar pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő:

$\frac{1}{1\cdot (1+k)}+\frac{1}{2\cdot (2+k)}+\frac{1}{3\cdot (3+k)}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot (n+k-1)}+\frac{1}{n\cdot (n+k)}$

$=\frac{1}{k}\cdot [(\frac{1}{1}-\frac{1}{1+k})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+k})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+k-1})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})]$

$=\frac{1}{k}\cdot [(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n})+(-\frac{1}{1+k}-\frac{1}{2+k}-\cdots -\frac{1}{n+k})]$

$=\frac{1}{k}\cdot [H_n-(H_{n+k}-H_k)]=\frac{1}{k}\cdot [H_k+H_n-H_{n+k}]$

ahol a $H_n$ az első Sablon:Mvar pozitív egész szám reciprokainak összegét, azaz az Sablon:Mvar-dik harmonikus számot adja meg.

Ezen összeg $n\to \mathrm{\infty }$ esetben:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i(i+k)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{k}\cdot [H_k+H_n-H_{n+k}]=\frac{1}{k}\cdot [\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_k+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-H_{n+k})]=\frac{H_k}{k}$

Következtetésképpen megállapíthatjuk, hogy a Sablon:Mvar különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege $\frac{H_k}{k}$, ahol $H_k$ a k-dik harmonikus szám.

További tulajdonságaik

Az Sablon:Mvar-edik téglalapszám megegyezik az első Sablon:Mvar páros egész szám összegével. Ebből következik az is, hogy az összes téglalapszám páros, és közülük egyedül a 2 prímszám. Szintén a 2 az egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám.

A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám.

A tény, hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek, a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai, néhány új tulajdonsághoz vezetnek. A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő. Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes, ha Sablon:Mvar és Sablon:Math is négyzetmentesek. A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az Sablon:Mvar és Sablon:Math különböző prímtényezői számának összegével.

További tulajdonsága a téglalapszámoknak, hogy az n-nél 0,5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál 0,25-dal nagyobb. Például: 7,5² = 56,25. Ezért az 5-re végződő egész négyzetszámok négyzete 25-re végződik úgy, hogy az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.

Még egy másik tulajdonságuk, hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik, vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszám 110 alakban írható fel. Például a nyolcas számrendszerben az 110₈ szám 72-t jelent, amely pont a 8. téglalapszám. A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám írható fel 110 (száztíz) alakban. Ennek oka ugyanaz, ami miatt a Sablon:Math is az egyik kiszámítási képlet alternatívája, vagyis az n-edik téglalapszám az n szám (számrendszer alapszáma) első két hatványának összege.

További információk

• Tuzson Zoltán: A figurális számokról (II)

Fordítás

• Sablon:Fordítás