Sűrűségfüggvény

Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke $a$ és $b$ közé esik, megfelel a valószínűségi sűrűségfüggvény $a$ és $b$ közötti szakaszának görbe alatti területének

A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvények felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.

A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.

Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.

Definíció

A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.

Az önálló definícióban szerepel az $f:ℝ\to ℝ$ tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes $ℝ$-en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá

$P([a,b]):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ valószínűségeloszlás.

Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az $f$ függvényre minden $a\in ℝ$ esetén

$P((-\mathrm{\infty },a])=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

illetve

$P(X\le a)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

akkor $f$ sűrűségfüggvény.

Tulajdonságai

Létezés

Különböző lognormális eloszlások sűrűségfüggvényei, ahol $\mu =0$

Különböző lognormális eloszlások eloszlásfüggvényei, ahol $\mu =0$

• Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
• Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
• Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.

Általános tulajdonságok

• A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt=1$

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

• A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

$𝐏(X\in A)=\underset{A}{\int }f(t)dt.$

• Speciálisan

$𝐏(a\le X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt.$

a két definíció egyenértékű.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel

Ha az $F$ eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:

$F^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}=f(x)$

Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.

Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.

Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:

$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(t)\mathrm{d}t$

$F_P(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_P(t)\mathrm{d}t$

ami azonnal következik a definícióból.

Sűrűségfüggvény részintervallumon

Ha egy $X$ valószínűségi változó csak egy $I$ részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az $I$ intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol $I=[0,\mathrm{\infty }[$. Egy alternatív lehetőség az értelmezési tartomány leszűkítése, azaz $f:I\to ℝ$ definiálása. Ekkor az eloszlás sűrűségét az $I$ intervallumon adja meg a Lebesgue-mérték szerint.

Nemlineáris transzformáció

A nemlineáris $Y=g(X)$ transzformáció esetén

$\mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(g(X))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f(x)\mathrm{d}x$.

Konvolúció

Abszolút folytonos eloszlás esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a sűrűségfüggvények konvolúciójára. Ha $P,Q$ abszolút folytonos eloszlások az $f_P$ és $f_Q$ eloszlásfüggvényekkel, akkor :$f_{P*Q}=f_P*f_Q$.

Itt $P*Q$ a $P$ és $Q$ konvolúciója, és $f*g$ az $f$ és $g$ konvolúciója. Tehát a konvolúció és a sűrűségfüggvény képzése felcserélhető.

Ez a tulajdonság közvetlenül átvihető független valószínűségi változók összegére. Legyenek $X,Y$ valószínűségi változók az $f_X$ és $f_Y$ sűrűségfüggvényekkel, ekkor

$f_{X+Y}=f_X*f_Y$.

Tehát az összeg sűrűségfüggvénye megegyezik a tagok sűrűségfüggvényeinek konvolúciójával.

Példák

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterekkel

Az exponenciális eloszlás abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye

$f_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

ahol $\lambda >0$ valós paraméter. Ha $\lambda >1$, akkor az $x=0$ helyen 1-nél nagyobb értéket vesz fel. Az, hogy $f_{\lambda }(x)$ sűrűségfüggvény, adódik az exponenciális függvény elemi integrációs szabályából, a nemnegativitás közvetlenül következik a hatványozás szabályaiból, és az integrálhatóság is bizonyítható.

A véges intervallumon egyenletes eloszlásnak is van sűrűségfüggvénye, például a $[0,1]$ intervallumon. Az általa megadott valószínűség

$P([a,b])=b-a$, ha $a\le b$ és $a,b\in [0,1]$

Az intervallumon kívüli események valószínűsége nulla. Az $f$ sűrűségfüggvény megfelel az

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=P([a,b])=b-a$

feltételeknek. Az $f(x)=1$ alkalmas függvény, amit a $[0,1]$ intervallumon kívül nulla folytat az integrálhatóság kedvéért. Ezzel a folytonos egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }x\in [0,1]\\ 0& \text{ egyébként }\end{array}$

Egy másik megfelelő függvény:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ ha }x\in (0,1)\\ 0& \text{ egyébként }\end{array}$

A két függvény egy Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik csak, és mindkettő megfelel a követelményeknek. Mivel egy tetszőleges pontban meg lehet változtatni az értéket, azért egy valószínűségeloszlásnak legalább kontinuum sok sűrűségfüggvénye van. Az integrálok értéke nem változik, tehát a módosított sűrűségfüggvény is sűrűségfüggvény marad.

Megjegyzések a definícióhoz

Szigorúan véve a definícióban egy $\lambda$ Lebesgue-mérték szerinti integrál szerepel, amit úgy kellene jelölni, hogy $\mathrm{d}\lambda (x)$. Többnyire azonban a Riemann-integrál is megfelel, emiatt szoktak a definícióban $\mathrm{d}x$ integrált írni. A különbséget az jelenti, hogy a Riemann-integrálnak nincs mértékelméleti háttere, míg a Lebesgue-integrálnak van.

A német szakirodalom meg is különbözteti a két eljárást. Amiből a valószínűségeloszlást származtatják, az a Wahrscheinlichkeitsdichte, a másik a Verteilungsdichte.

Létezés és egyértelműség

Valószínűségeloszlásból származtatva

A valószínűségeloszlással definiált esetben a $P$ valószínűségi mértékből származik a valószínűségeloszlás. A normáltságból következik $P(ℝ)=1$. Mivel a valószínűségek nem lehetnek negatívak, a függvény sehol se negatív. a σ-additív tulajdonság következik a majorált konvergencia tételéből, a sűrűségfüggvénnyel mint majoránssal és az

$f_n:=\sum _{i=1}^{n}f{\chi }_{A_i}$

függvénysorozattal, ahol az $A_i$ halmazok páronként diszjunktak, és ${\chi }_A$ az $A$ halmaz karakterisztikus függvénye.

Az egyértelműség következik a mérték egyértelműségének tételéből, és a Borel-σ-algebra generátorainak metszetstabil tulajdonságából, ami itt a zárt intervallumok.

A másik definíció alapján

A Radon-Nikodým-tétellel belátható, hogy adott valószínűségeloszláshoz létezik sűrűségfüggvény:

Ha $P$ valószínűségeloszlás, akkor akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha abszolút folytonos a $\lambda$ Lebesgue-mértékre. Ez azt jelenti, hogy ha $\lambda (A)=0$, akkor $P(A)=0$.

Ez nem zárja ki, hogy több sűrűségfüggvény létezik, de mindegyik csak Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik a többitől, azaz majdnem mindenütt egyenlőek.

Emiatt a diszkrét valószínűségeloszlásoknak nincs sűrűségfüggvénye, mivel egy alkalmas $k\in ℝ$ elemre mindig teljesül, hogy $P(\{k\})>0$. Ezeknek a ponthalmazoknak azonban a Lebesgue-mértéke nulla, vagyis a diszkrét valószínűségeloszlások nem abszolút folytonosak.

A valószínűségek számítása

Alapok

Adva legyen az $f$ sűrűségfüggvény, ekkor az $[a,b]$ intervallum valószínűsége

$P(X\in [a,b])=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Itt mindegy, hogy az intervallum zárt-e, vagy nyílt, félig nyílt, mivel a folytonos valószínűségi változók esetén egy pont valószínűsége nulla. Formálisan,

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:P(X=x)=0$

$P(a\le X\le b)=P(a<X\le b)=P(a\le X<b)=P(a<X<b)$

Bonyolultabb halmazok esetén az egyes intervallumokon vett integrálokat kell összeadni. Ekkor a képlet

$P(X\in A)=\underset{A}{\int }f(x)\mathrm{d}x$.

Alkalmazható a σ-additivitás is, ami azt jelenti, hogy a $A_1,A_2,A_3\dots$ páronként diszjunkt intervallumok, és

$A=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$

az összes egyesítése, akkor

$P(A)=P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{a_i}{\overset{b_i}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

ahol $A_i=(a_i,b_i)$. Ez érvényes véges sok és végtelen számú intervallumra. Diszjunkt intervallumok valószínűsége összeadódik.

Példa

Egy callcenterben két hívás között eltelt idő megközelítően exponenciális eloszlású. Legyen ennek paramétere $\lambda$! Ekkor a sűrűségfüggvény

$f_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$.

Az x tengely beosztását a $\lambda$ paraméter határozza meg úgy, hogy $\lambda$ idő alatt várható értékben egy hívás fut be. Annak a valószínűsége, hogy a következő hívás egy és két időegység után következik be:

$P(X\in [1,2])=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x={[-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}]}_1^2=-{\mathrm{e}}^{-2\lambda }+{\mathrm{e}}^{-\lambda }$.

Tegyük fel, hogy egy munkatárs öt időegység hosszú szünetet tart! Annak a valószínűsége, hogy közben nem érkezik hívás, egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a következő hívásig öt vagy több időegység telik el. Ennek valószínűsége

$P(X\ge 5)=1-P(X\le 5)=1-\underset{0}{\overset{5}{\int }}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=1-{[-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}]}_0^5=1-(-{\mathrm{e}}^{-5\lambda }+1)={\mathrm{e}}^{-5\lambda }$

Jellemző számadatok meghatározása

Egy valószínűségi változó jellemző számadatai közül több is megadható a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének segítségével.

Módusz

Egy valószínűségeloszlás illetve valószínűségi változó módusza definiálható a sűrűségfüggvénnyel: Ahol a sűrűségfüggvénynek maximuma van, ott van a módusz. Formálisan, $x_{\text{mod}}\in ℝ$ akkor módusza az $f$ sűrűségfüggvényű valószínűségi változónak, ha az $x_{\text{mod}}$ hely lokális maximumhely. ez azt jelenti, hogy

van $\epsilon >0$, hogy $f(x)\le f(x_{\text{mod}})$ minden $x\in (x_{\text{mod}}-\epsilon ;x_{\text{mod}}+\epsilon )$ helyen.

Egy sűrűségfüggvénynek több lokális maximumhelye is lehet, ekkor az eloszlás bimodális vagy multimodális. Az egyenletes eloszlás esetén minden hely módusz.

Medián

A mediánt rendszerint az eloszlásfüggvénnyel és kvantilisekkel definiálják. Abszolút folytonos eloszlás mediánja számítható sűrűségfüggvénnyel: $x_{\text{med}}$ az eloszlás vagy a valószínűségi változó mediánja, ha:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_{\text{med}}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

és

$\underset{x_{\text{med}}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

Folytonosság miatt $x_{\text{med}}$ mindig létezik, de az egyértelműség nem garantált, például csak két diszjunkt intervallum unióján nullától különböző értékeket felvevő szimmetrikus sűrűségfüggvény esetén.

Várható érték

Ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_X$, akkor $X$ várható értéke:

$\mathrm{E}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)\mathrm{d}x$,

ha az integrál konvergens. Ha nem konvergens, akkor a valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Szórásnégyzet és szórás

Ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_X$, és várható értéke $\mu =\mathrm{E}(X)$, akkor $X$ szórásnégyzete

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-\mu {)}^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^2{f}_X(x)\mathrm{d}x$.

Vagy az eltolási tétellel:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{f}_X(x)\mathrm{d}x-{\mu }^2$.

Ezek a képletek csak akkor használhatók, ha az integrálok konvergensek. A szórás a szórásnégyzetből számítható gyökvonással, de sokszor elég a szórásnégyzetet használni.

Magasabb momentumok, ferdeség és lapultság

A fent leírt nemlineáris transzformáció felhasználásával közvetlenül kiszámíthatók a további momentumok. Így ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_X$, akkor:

$m_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{f}_X(x)\mathrm{d}x$

és a k-adik abszolút momentum

$M_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|x{|}^k{f}_X(x)\mathrm{d}x$.

Ha $X$ várható értéke $\mu$, akkor a centrális momentumok:

${\mu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^k{f}_X(x)\mathrm{d}x$

és az abszolút centrális momentumok:

${\bar{\mu }}_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|x-\mu {|}^k{f}_X(x)\mathrm{d}x$.

Példa

Példaként tekintsük az exponenciális eloszlást:

$f_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

ahol $\lambda >0$ paraméter!

Az exponenciális eloszlásnak mindig módusza a nulla. A $(-\mathrm{\infty },0)$ intervallumon a sűrűségfüggvény konstans nulla, és az $[0,+\mathrm{\infty })$ intervallumon szigorúan monoton csökken, így a 0 helyen lokális maximum van. A monotóniából következik, hogy nincs több lokális maximum, a módusz egyértelmű.

A centrális momentumokból meghatározható a ferdeség és a lapultság.

A medián meghatározásához elég a $[0,\mathrm{\infty })$ félegyenesen integrálni, mivel a negatív számokon a függvény értéke konstans nulla:

$\underset{0}{\overset{c}{\int }}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x={[-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}]}_0^c=-{\mathrm{e}}^{-\lambda c}+1\stackrel{!}{=}\frac{1}{2}$.

Rövid számolással

$c=\frac{\ln 2}{\lambda }$.

Ez teljesíti a mediánra vonatkozó második egyenlőséget is, tehát valóban medián.

A várható érték meghatározható parciális integrállal:

$\mathrm{E}(X)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x={[-x{e}^{-\lambda x}]}_0^{+\mathrm{\infty }}-\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}-e^{-\lambda x}\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{-\lambda }{e}^{-\lambda x}\right]}_0^{+\mathrm{\infty }}=\frac{1}{\lambda }$.

A parciális integrál kétszeri alkalmazásával számítható a szórásnégyzet is.

További példák

Legyen most az $f(x)$ sűrűségfüggvény $f(x)=3x^2$, ha $x\in [0,1]$; $f(x)=0$ ha $x<0$; és $f(x)=0$ ha $x>1$! Ekkor $f:ℝ\to ℝ$ valóban sűrűségfüggvény, mivel nemnegatív teljes $ℝ$-en, továbbá

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^2\mathrm{d}x=1$.

Minden $x\in [0,1]$ esetén:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}3t^2\mathrm{d}t=x^3$

Az eloszlásfüggvény

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ ha }x<0\\ x^3& \text{ ha }0\le x\le 1\\ 1& \text{ ha }x>1\end{array}$

Ha $X$ valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye $f$, akkor például

$P(X\le \frac{1}{2})=F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$.

Az $X$ változó várható értéke

$\mathrm{E}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^3\mathrm{d}x=\frac{3}{4}$.

Többdimenziós sűrűségfüggvény

Többdimenziós valószínűségi változókra is definiálható sűrűségfüggvény, ha eloszlásuk abszolút folytonos. Legyen az $X$ valószínűségi vektorváltozó ${ℝ}^n$ értékű; ekkor $f:{ℝ}^n\to [0,\mathrm{\infty })$ az $X$ (Lebesgue-mérték szerinti) sűrűségfüggvénye, ha

$P(X\in A)=\underset{A}{\int }f(x){\mathrm{d}}^{n}x$

minden $A\in ℬ({ℝ}^n)$ Borel-halmazra.

Speciálisan, az $n$ dimenziós $I=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ intervallumokra, ahol $a_1<b_1,\dots ,a_n<b_n$ valós számok:

$P(X\in I)=\underset{a_n}{\overset{b_n}{\int }}\cdots \underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}f(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n$.

Valószínűségi vektorváltozóknak is definiálható eloszlásfüggvény. Itt $F(x)=P(X\le x)$, ahol az egyenlőtlenség komponensenként értendő. Ekkor $F$ az ${ℝ}^n$ teret a [0,1] intervallumra képezi úgy, hogy

$F(x_1,\dots ,x_n)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_n}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_1}{\int }}f(t_1,\dots ,t_n)\mathrm{d}{t}_1\dots \mathrm{d}{t}_n$.

Ha $F$ n-szer folytonosan differenciálható, akkor a sűrűségfüggvény parciális differenciálással megkapható:

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\frac{{\partial }^{n}F(x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial x_1\dots \partial x_n}.$

Az $X_i$ komponensek $f_i$ sűrűségfüggvényei a peremeloszlások többi komponens szerinti integrálásával kaphatók.

Továbbá: Ha $X=(X_1,\dots X_n)$ ${ℝ}^n$ értékű sűrűségfüggvényes valószínűségi vektorváltozó, akkor a következők ekvivalensek:

• Az $X$ sűrűségfüggvényének alakja $f(x_1,\dots ,x_n)=f_1(x_1)\cdot \dots \cdot f_n(x_n)$, ahol $f_i$ az $X_i$ sűrűsége.
• Az $X_1,\dots ,X_n$ valószínűségi változók függetlenek.

Becslés diszkrét adatok alapján

Gyakorisági sűrűség (hisztogram)

Folytonosnak tekintett eloszlásból származó, de diszkréten mért adatok, például testmagasság centiméterben mérve reprezentálhatók gyakorisági sűrűségfüggvényként. Magsűrűségbecslőkkel a sűrűségfüggvény folytonos függvénnyel becsülhető. Az ehhez használt magnak a mérési hibához kell alkalmazkodnia.

Legyen $X_a$ approximáló véletlen változó, az $x_i$ jellemző mennyiségekkel és $p_i$ valószínűségekkel. Az $X_a$ diszkrét approximáló valószínűségi változó határátmenete az $X$ folytonos valószínűségi változóba valószínűségi hisztogrammal modellezhető. Ehhez $X$ lehetséges értékeit a $[c_{i-1},c_i]$ szakaszokra osztujk fel. Ezek a $\mathrm{\Delta }{x}_i$ hosszú intervallumok és a hozzájuk tartozó $x_i$ osztályközepek a sűrűségfüggvény approximációját szolgálják, szemléletesen a valószínűségi hisztogrammal, ami az osztályközepekre emelt $p_i=f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ téglalapokból áll. Kis $\mathrm{\Delta }{x}_i$ esetén $X_a$ felfogható a folytonos $X$ valószínűségi változó approximációjaként. Minél rövidebbek a $[c_{i-1},c_i]$ szakaszok, annál jobban közelíti $X_a$ a folytonos $X$ valószínűségi változót. Az $\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0$ határátmenet minden intervallumra a következőhöz vezet:

a szórásnégyzet esetén

$\sum _i(x_i-\mu {)}^{2}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i⟶\underset{ℝ}{\int }(x-\mu {)}^{2}f(x)\mathrm{d}x$

a várható érték esetén

$\sum _i{x}_{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i⟶\underset{ℝ}{\int }xf(x)\mathrm{d}x$.

A sűrűségfüggvény általánosítása

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P függvénnyel azonos.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, Sablon:ISBN.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008, Sablon:ISBN.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Sablon:ISBN.
• Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 12. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, Sablon:ISBN.
• Sablon:Cite web
• Sablon:MathWorld