Centrális momentum

Egy valószínűségi változó centrális momentumai vagy centrált momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E((X – E(X))^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli. Ha nincs várható érték, mint a Cauchy-eloszlás esetén, akkor centrális momentumok sincsenek.

Az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől, vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E((X – E(X))^k)-t. Bizonyos – főként régebbi – könyvekben találkozhatunk a μ_k = E((X – E(X))^k) jelöléssel, míg más könyvekben ugyanezzel a momentumot jelölik, s m_k-val jelölik a centrális momentumot. Egyaránt definiálhatók egy- és többváltozós eloszlásokra.

Egyváltozós momentumok

Abszolút folytonos eloszlás esetén, ha f(x) a sűrűségfüggvény, akkor az n-edik centrális momentum

${\mu }_n=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^n]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{n}f(x)\mathrm{d}x.$

Az első néhány momentumnak intuitív értelmezése van:

• A nulladik centrális momentum μ₀ = 1.
• Az első centrális momentum nem a várható érték, hanem μ₁ = 0.
• A második centrális momentum μ₂ = σ², szórásnégyzet vagy variancia.
• A harmadik és a negyedik centrális momentumokat a ferdeség és a lapultság kiszámításához használják.

Tulajdonságok

A centrális momentumok eltolásinvariánsak, azaz minden X valószínűségi változóra és c tetszőleges konstansra

${\mu }_n(X+c)={\mu }_n(X).$

Minden n-re, az n-edik centrális momentum n-edfokban homogén:

${\mu }_n(cX)=c^n{\mu }_n(X).$

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor az X és Y független változók esetén a momentum additív:

${\mu }_n(X+Y)={\mu }_n(X)+{\mu }_n(Y)$ ha n ∈ Sablon:Math}.

Az eltolásinvarianciát és additivitást n ≥ 4 esetén az n-edik kumuláns őrzi meg, aminek jele κ_n(X).

• n = 1 esetén a kumuláns a várható érték.
• n = 2 vagy 3 esetén a kumuláns megegyezik a megfelelő centrális momentummal.
• n ≥ 4 esetén a kumuláns az első n momentum (a nulladik nélkül) n-edfokú polinomja, és az első n centrális momentumnak is n-edfokú polinomja.

A centrális és a nem centrális momentumok kapcsolata

Néha kényelmesebb nem centrális momentumok helyett centrális momentumokkal számolni. A centrális momentumra való áttérés egyenlete:

${\mu }_n=\mathrm{E}\left[{(X-\mathrm{E}\left[X\right])}^n\right]=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(-1{)}^{n-j}\mu {\text{'}}_j{\mu }^{n-j},$

ahol μ a várható érték. Megfordítva, a nem centrális momentum:

$\mu {\text{'}}_m=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{m}f(x)dx=\mathrm{E}\left[X^m\right]=\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}){\mu }_j{\mu }^{m-j}.$

Az n = 2, 3, 4 esetben ez így módosul:

${\mu }_2=\mu {\text{'}}_2-{\mu }^2$

hagyományosabb jelöléssel a szórásnégyzet $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(X\right)=\mathrm{E}\left[X^2\right]-{\left(\mathrm{E}\left[X\right]\right)}^2$

Továbbá

${\mu }_3=\mu {\text{'}}_3-3\mu \mu {\text{'}}_2+2{\mu }^3$

${\mu }_4=\mu {\text{'}}_4-4\mu \mu {\text{'}}_3+6{\mu }^2\mu {\text{'}}_2-3{\mu }^4.$

Az együtthatók a Pascal-háromszög alapján adhatók meg,

${\mu }_5=\mu {\text{'}}_5-5\mu \mu {\text{'}}_4+10{\mu }^2\mu {\text{'}}_3-10{\mu }^3\mu {\text{'}}_2+4{\mu }^5.$

mivel $5{\mu }^4\mu {\text{'}}_1-{\mu }^5\mu {\text{'}}_0=5{\mu }^4\mu -{\mu }^5=5{\mu }^5-{\mu }^5=4{\mu }^5$

Legyen $W$ egy valószínűségi változó, ami megkapható néhány azonos eloszlású független valószínűségi változó összegeként:

$W=\sum _{i=1}^M{Y}_i$

ahol $M$ szintén valószínűségi változó, és független az Y_i valószínűségi változóktól, de eloszlása különbözhet azokétól. Ekkor $W$ momentumai:

$\mathrm{E}\left[W^n\right]=\sum _{i=0}^n\mathrm{E}\left[(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{i})\right]\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^{i-j}\mathrm{E}[(\sum _{k=1}^j{Y}_k{)}^n],$

ahol $\mathrm{E}[(\sum _{k=1}^j{Y}_k{)}^n]=0$ ha $j=0$.

Szimmetrikus eloszlások

A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.

Többdimenziós centrális momentumok

Egy kétváltozós közös eloszlás (j,k)-adik centrális momentumai, ha a közös sűrűségfüggvény f(x,y):

${\mu }_{j,k}=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^j(Y-\mathrm{E}[Y]{)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-{\mu }_X{)}^j(y-{\mu }_Y{)}^{k}f(x,y)dxdy.$

További momentumok

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

• momentum,
• abszolút momentum,
• abszolút centrális momentum és
• faktoriális momentum.

Megjegyzések

• A k-adik centrális momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű centrális momentumot is használni.

• Látható, hogy a második centrális momentum azonos a szórásnégyzettel, vagyis a centrális momentum tekinthető a szórásnégyzet általánosításának is.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.