Eltolási tétel

Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.

Legyenek $x_1,\dots ,x_n$ valós számok, és számtani közepüket jelölje $\bar{x}$. Ekkor

$\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-\frac{1}{n}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2$.

Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes $x_i$-t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}$ sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő $\tilde{x}\approx \bar{x}$ becslés:

$\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-\tilde{x}{)}^2-\frac{1}{n}{(\sum _{i=1}^n(x_i-\tilde{x}))}^2$.

A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.

Példa

A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:

$505,500,495,505$

Az átlagos súly:

$\bar{x}=\frac{505+500+495+505}{4}=501,25$

A négyzetes eltérések összege:

$\begin{array}{cc}Q& =(505-501,25{)}^2+(500-501,25{)}^2+(495-501,25{)}^2+(505-501,25{)}^2\\ & =14,0625+1,5625+39,0625+14,0625\\ & =68,75.\end{array}$

További számítások a tétel alkalmazásához:

$q_1=\sum _{i=1}^n{x}_i=505+500+495+505=2.005$

$q_2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2=255.025+250.000+245.025+255.025=1.005.075$

$Q=q_2-\frac{1}{4}{q}_1^2=68,75$

Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:

$s^2=\frac{1}{4-1}68,75\approx 22,9.$

mivel

$s^2=\frac{1}{n-1}Q,$

Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a $q_1$ és $q_2$ összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor

$q_1^{\text{új}}=q_1+510=2.005+510=2.515,$

$q_2^{\text{új}}=q_2+510^2=1.005.075+260.100=1.265.175,$ végül

$Q^{\text{új}}=q_2^{\text{új}}-\frac{1}{5}{\left(q_1^{\text{új}}\right)}^2=130.$

Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet

$s_{\text{új}}^2=\frac{1}{5-1}{Q}^{\text{új}}=130/4=32,5.$

Alkalmazások

Szúrópróba kovarianciája

Két valószínűségi változó, $x$ és $y$ a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk

$s_{xy}:=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).$

Eltolási tétellel

$s_{xy}=\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i)-n\bar{x}\bar{y}.$

A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája

$s_{xy}^{*}=\frac{1}{n-1}{s}_{xy}.$

Valószínűségi változók

Szórásnégyzet

Egy valószínűségi változó szórásnégyzete

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)$

az eltolási tétellel

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2,$

ami König-Huygens-tételként ismert.

A várható érték linearitásával

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)& =\mathrm{E}(X^2-2X\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(X{)}^2)\\ & =\mathrm{E}(X^2)-\mathrm{E}(2X\mathrm{E}(X))+\mathrm{E}(\mathrm{E}(X{)}^2)\\ & =\mathrm{E}(X^2)-2\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(X{)}^2\\ & =\mathrm{E}(X^2)-\mathrm{E}(X{)}^2.\end{array}$

Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-c{)}^2)-{(\mathrm{E}(X)-c)}^2,c\in ℝ$.

Ha $X$ diszkrét valószínűségi változó az $x_i,i=1,\dots ,n$ lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó $\mathrm{P}(X=x_j)=p_j$ valószínűségekkel, akkor

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)=\sum _j{p}_j{(x_j-\sum _i{p}_i{x}_i)}^2=\sum _i{p}_i{x}_i^2-{\left(\sum _i{p}_i{x}_i\right)}^2.$

Speciálisan, ha $p_i=\frac{1}{n}$, akkor $\mathrm{E}(X)=\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _i{x}_i$, és a fenti képlettel

$\frac{1}{n}\sum _i{(x_i-\bar{x})}^2=\frac{1}{n}\sum _i{x}_i^2-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}.$

Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye $f$, akkor

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mathrm{E}(X){)}^{2}f(x)\mathrm{d}x.$

Az eltolási tétellel

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x-\mathrm{E}(X{)}^2.$

Kovariancia

Két valószínűségi változó, $X$ és $Y$ kovarianciája

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X))\cdot (Y-\mathrm{E}(Y)))$

Az eltolási tétellel

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$

Diszkrét esetben

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sum _j\sum _k(x_j-\mathrm{E}(X))(y_k-\mathrm{E}(Y))\cdot f(x_j,y_k)$

illetve

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sum _j\sum _k{x}_j{y}_{k}f(x_j,y_k)-\mathrm{E}(X)\cdot \mathrm{E}(Y),$

ahol $f(x_j,y_k)$ a közös valószínűségi tömegfüggvény, az $X=x_j$ és $Y=y_k$ valószínűségi tömegfüggvényekkel.

Folytonos esetben legyen $f(x,y)$ $X$ és $Y$ közös sűrűségfüggvénye az $x$, $y$ helyen. Ekkor a kovariancia

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mathrm{E}(X))(y-\mathrm{E}(Y))\cdot f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

illetve

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xyf(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x-\mathrm{E}(X)\cdot \mathrm{E}(Y)$

Bizonyítás

A legegyszerűbb esetben adottak az $x_1,x_2,\dots ,x_n$ számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:

$Q=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2,$

ahol

$\bar{x}:=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:

$Q=\sum _{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar{x}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}})=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-2\bar{x}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)+n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}$

$=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}$.

Jegyzetek

• Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall a www.mathebibel.de helyen