Mértékszabadság

A mértékszabadság az elektrodinamikai potenciálokra jellemző sajátos többértelműség: meghatározott transzformációval egymásba vihető végtelen sok, egymástól különböző potenciálhoz ugyanazok az erőterek és egyéb fizikai mennyiségek tartoznak. Ennek a redundanciának az értelmét a klasszikus fizika nem tudja megmagyarázni, a kvantumtérelmélet világít rá a jelenségre. Így a mértékszabadság klasszikus alakja mintegy előrejelzi, hogy a klasszikus fizika nem a végső fizikai elmélet, létezik azon túl valami más, ami világunk pontosabb leírását adja.

A klasszikus elektrodinamikában

Régóta tudjuk, hogy az elektrosztatikában szereplő elektrosztatikus potenciál csak egy additív konstans erejéig határozható meg egyértelműen. Ennél azonban több is kijelenthető és nem csak sztatikus esetre. Az E elektromos térerősséget és a B mágneses indukciót definiálhatjuk a Φ skalárpotenciál és az A vektorpotenciál segítségével a következő módon:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{c\partial t}$  és  $𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

E és B azonban változatlan marad, ha tetszőleges $\mathrm{\Lambda }(𝐱,t)$ függvény segítségével végrehajtjuk a következő transzformációt A-n és Φ-n:

$𝐀\to 𝐀-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Lambda }$

$\varphi \to \varphi +\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{c\partial t}$

A és Φ egy konkrét megválasztását egy mértéknek, $\mathrm{\Lambda }(𝐱,t)$-t egy mértékfüggvénynek nevezzük. Az itt bemutatott mértékszabadság egy U(1) lokális mértékinvarianciának felel meg, ami a kvantumelektrodinamika formalizmusában látszik jobban. A mértéket rögzíteni lehet sokféle módon, egy-egy speciális feltétel kirovásával (ld. alább).

Előlegezzük meg egy pillanatra a Minkowski-térnél látott kovariáns jelöléseket: A^μ=(Φ,A), A_μ=(Φ,-A). Ezekkel a jelölésekkel a fenti mértéktranszformáció az

$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\mathrm{\Lambda }(x)$, ahol $x=(𝐱,t)$

alakban írható, ami mutatja azt –ami korrekt módon is bebizonyítható–, hogy A^μ és A_μ egy négyesvektor, a négyespotenciál kontravariáns és kovariáns komponensei.

A kvantumelektrodinamikában

Az egyszerűség kedvéért térjünk át a részecskefizikában széles körben használt $\hslash =c=1$ egységrendszerre. A kvantumelektrodinamikában nemcsak az elektromágneses teret, hanem az anyagi részecskéket is terek írják le a kvantummechanikai hullám-részecske kettősséggel összhangban. A mértékszabadságot ezekre a terekre is ki kell terjeszteni, különben nem juthatunk általános érvényű fizikai következtetésekre.

A sugárzási térre – aminek négyespotenciálját mértékmezőnek hívjuk – továbbra is igaz, hogy a mértéktranszformáció:

$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\mathrm{\Lambda }(x)=e^{i\mathrm{\Lambda }(x)}{A}_{\mu }{e}^{-i\mathrm{\Lambda }(x)}+i{e}^{i\mathrm{\Lambda }(x)}{\partial }_{\mu }{e}^{-i\mathrm{\Lambda }(x)}$

kovariánsan változtatja a mozgásegyenleteket, az anyagi terekre viszont változtatás nélkül csak egy globális fázistranszformáció megengedett:

$\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Phi }{e}^{i\alpha }$

Az anyagi terek esetén a deriváltat a

$D_{\mu }:={\partial }_{\mu }-i{A}_{\mu }$

kovariáns deriválttal helyettesítve – ami magában foglalja az anyagi és sugárzási terek kölcsönhatását is – és egy kis kézenfekvő, heurisztikus kiegészítéssel kovariáns egyenletekhez jutunk, ahol a mértéktranszformáció hatása az anyagi terekre:

$\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Phi }{e}^{i\mathrm{\Lambda }(x)}$

$D_{\mu }\mathrm{\Phi }\to D_{\mu }\mathrm{\Phi }\cdot e^{i\mathrm{\Lambda }(x)}$

Az anyagi terek esetén egy lokális (helyfüggő) fázistranszformációt látunk, ami a tér (a hullámfüggvény) abszolutértéknégyzetét nem változtatja meg. Az ilyen transzformációt unitér transzformációnak nevezzük. $\mathrm{\Lambda }(x)$ egy "egydimenziós" szám és nem egy – például többdimenziós mátrixszal reprezentálható – operátor, ezért ezt a mértéktranszformációt U(1)-transzformációnak (U, mint unitér) hívjuk. Ezek mértékcsoportja az U(1)-csoport, ami az elektromágneses kölcsönhatás belső szimmetriacsoportja (belső, azaz nem téridő).

A kvantumtérelméletben

A kvantumtérelméletben kiterjesztjük a megengedett mértékcsoportok körét a Lie-csoportokra. Ezek közül valódi fizikai jelentéssel, természetesen csak néhány bír, a kutatások tárgya, hogy melyek ezek. Az abeli, azaz kommutatív U(1) csoporttal szemben a Lie-csoportok többsége nem kommutatív. Az anyagi mezők – megfelelően definiált – kovariáns deriváltja ugyanúgy transzformálódik, mint az anyagi mezők maguk:

$\mathrm{\Phi }\to G(x)\mathrm{\Phi }$

$D_{\mu }\mathrm{\Phi }\to G(x)D_{\mu }\mathrm{\Phi }$

ahol például unitér mértékcsoport esetén:

$G(x)=e^{{\mathrm{\Lambda }}^a(x)T^a}$

ahol a T^a mennyiségek a csoport antihermitikus generátorai. A kovariáns derivált pedig:

$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+A_{\mu }={\partial }_{\mu }+A_{\mu }^a{T}^a$

azaz annyi mértékmezőt (sugárzási mezőt, közvetítő részecskét) kell bevezetni, ahány dimenziós a csoport. SU(2) esetén hármat, SU(3) esetén nyolcat, általában SU(n) esetén n²-1-et. A mértékmezők transzformációja az elektrodinamikával analóg:

$A_{\mu }\to G(x)A_{\mu }{G}^{-1}(x)+G(x){\partial }_{\mu }{G}^{-1}(x)$

Mértékrögzítések

Konkrét számolások esetén nagyon kényelmes sokszor bevezetni egy olyan feltételt, ami a mértékszabadságot korlátozza, a mértéket rögzíti. Ez a fizikai végeredményt nem befolyásolja, de leegyszerűsíti a számolást, mert bizonyos változókra könnyebben megoldhatóvá teszi például az egyenleteket és így a maradék probléma is leegyszerűsödik.

Coulomb-mérték

A Coulomb-mérték (sugárzási vagy tranzverzális mértékként is ismert) a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=0.$

Hátránya, hogy ebben a mértékben A és Φ néha a fénynél gyorsabban is terjedhet. Ennek mindenesetre nincs jelentősége, mert A és Φ önmagukban megfigyelhetetlen mennyiségek, a megfigyelhető mezők pedig helyesen viselkednek.

A Coulomb-mértékben, ahogy az a Gauss-törvényből látszik, a skalárpotenciált egyszerűen egy Poisson-egyenlet határozza meg a teljes töltéssűrűségből (beleértve a kötött töltéseket is) kiindulva.

$-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Lorenz-mérték

A Lorenz-mérték a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0.$

Könnyen megmutatható, hogy ebben az esetben a mérték még mindig megváltoztatható, ha a mértékfüggvény kielégíti a hullámegyenletet:

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Lambda }}{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Lambda }$ .

Azaz a Lorenz-mérték nem teljes olyan értelemben, hogy van benne maradék mértékszabadság. Mindenesetre a mértékfüggvény fénysebességgel terjed. A speciális relativitáselméletben ez egy kovariáns mérték

Fontos megjegyezni, hogy a mértéket Ludwig Lorenz dán fizikus publikálta és nem Hendrik Antoon Lorentz holland fizikus, ahogy azt gyakran gondolják. Lorenz eredeti publikációját Maxwell nem fogadta jól (elsősorban a saját elektromágneses munkássága miatt). Lorenz munkája volt az első Maxwell 1865-ös publikációja után, ami azt szimmetrizálta és lerövidítette.

Weyl-mérték

A Weyl mérték – ami Hermann Weylről kapta a nevét – egy nem teljes mérték, ami a következő választást jelenti:

$\varphi =0$

Maximum abeli mérték

Egy nemabeli mértékelméletben egy maximum abeli mérték egy olyan nem teljes mérték, ami a mértékszabadságot a maximum abeli alcsoporton kívül rögzíti. Példák:

• SU(2) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1) csoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy legyen az, amit a σ₃ Pauli-mátrix generál, akkor ez a mérték az, ami a következő függvényt maximalizálja:

$\int d^{D}x[(A_{\mu }^1{)}^2+(A_{\mu }^2{)}^2].$  ahol  ${𝐀}_{\mu }=A_{\mu }^a{\sigma }_a$

• SU(3) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1)×U(1) alcsoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy a λ₃ és λ₈ Gell-Mann-mátrixok generálják, akkor ez a mérték a következő függvény maximalizálását jelenti:

$\int d^{D}x[(A_{\mu }^1{)}^2+(A_{\mu }^2{)}^2+(A_{\mu }^4{)}^2+(A_{\mu }^5{)}^2+(A_{\mu }^6{)}^2+(A_{\mu }^7{)}^2].$   ahol   ${𝐀}_{\mu }=A_{\mu }^a{\lambda }_a$

Landau-mérték

A Landau-mérték a kvantumelektrodinamikában a fotonpropagátorra kirótt következő feltételt jelenti:

$D_{\mu \nu }{k}^{\nu }=0$

A Landau-mérték analóg a potenciálokra kirótt Lorenz-mértékkel.

't Hooft-mértékek

A mértékszabadság kezelésére rejtett szimmetriák esetére 't Hooft 1971-ben állította fel a saját mértékeit a Higgs-mező vákuumértéke körüli sorfejtéséből kiindulva:

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[f+{\chi }_1(x)+i{\chi }_2(x)]$

ahol a χ függvények vákuumértéke nulla. A mértékfeltétel pedig a következő:

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=M\xi {\chi }_2$

ahol M a Higgs-bozon tömege. ξ speciális megválasztásai korábbi mértékválasztásokkal ekvivalensek:

• ξ=0 a Landau-mérték
• ξ=1 a Feynman-mérték