Propagátor

A kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben a propagátor a hullámfüggvény időfejlődéséhez kapcsolódik. A propagátor egy részecskének egyik helyről a másikra való – adott idő alatti – mozgásának, vagy bizonyos energiával és impulzussal való mozgásnak az amplitúdóját adja meg. Fogalma szorosan kapcsolódik az időfejlesztő operátorához és a Green-függvényhez.

A propagátorok matematikája

Tekintsünk egy tetszőleges $|\psi ⟩$ állapotot a t időpontban. Ekkor t'-beli állapotot a $U(t,t^{\prime })|\psi ⟩$ vektor fogja leírni, ahol a $U(t,t^{\prime })$ a t-ből t'-be való időfejlődés unitér operátora. Amennyiben a rendszer invariáns az időeltolásra (azaz az energiája megmarad), akkor $U(t,t^{\prime })=U(|t^{\prime }-t|)$.

A propagátor és az időfejlesztő operátor kapcsolata következő:

Tekintsük a következő nemrelativisztikus disztribúció-értelemben vett egyenletet:

$(H_x-i\hslash \frac{\partial }{\partial t})K(x,t;x^{\prime }{t}^{\prime })=-i\hslash \delta (x-x^{\prime })\delta (t,t^{\prime })$

ahol $H_x$ a rendszer Hamilton-operátora koordinátareperezentációban, $\delta$ pedig Dirac-delta. Ekkor $K(x,t;x^{\prime }{t}^{\prime })$ egyrészt a differenciálegyenlet Green-függvénye, másrészt a rendszer propagátora, mert $K(x,t;x^{\prime }{t}^{\prime })$ pontosan a részecske (x,t)→(x',t') mozgásának amplitúdóját írja le. Az egyenletből látszik, hogy amennyiben a rendszer állapota t-ben nem teljesen az x-be koncentrált, hanem tetszőleges $|\psi ⟩$ hullámfüggvény, akkor a rendszer állapotát t'-ben a következő egyenlet definiálja:

$\psi (x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x^{\prime },t^{\prime })K(x,t;x^{\prime },t^{\prime })d{x}^{\prime }$

ami a fentebb már említett időeltolás-invariáns esetben egy konvolúcióvá egyszerűsödik, azaz az $U$ időfejlesztő operátor a $K$-val vett konvolúció operátorává válik.

Források

• angol szócikk
• Feynman and Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals