Katenoid

Katenoid

A katenoid egy felület a 3 dimenziós euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben. Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik. Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid.

A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:

$x=c\cosh \frac{v}{c}\cos u$

$y=c\cosh \frac{v}{c}\sin u$

$z=v$

ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.

Hengerkoordináta-rendszerben:

$\rho =c\cosh \frac{z}{c}$

ahol c egy valós állandó.

A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.Sablon:Jegyzet

Csavarfelület transzformációjaként

Egy animáció ami egy csavarfelület transzformációját mutatja be katenoiddá.

Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:

$x(u,v)=\cos \theta \sinh v\sin u+\sin \theta \cosh v\cos u$

$y(u,v)=-\cos \theta \sinh v\cos u+\sin \theta \cosh v\sin u$

$z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta$

bármely $(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$-re, a deformációs paraméter $-\pi <\theta \le \pi$,

ahol $\theta =\pi$ egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, $\theta =\pm \pi /2$ a kateonidnak felel meg, $\theta =0$ pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Külső hivatkozások

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer, Sablon:ISBN Sablon:En
• "Caténoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Sablon:Fr
• Animated 3D WebGL model of a catenoid Sablon:En