Binomiális sor

A binomiális sor a matematikai analízisben az  (1 + x) ^α függvény MacLaurin-sora, ahol Sablon:Nowrap egy tetszőleges komplex szám. Képlettel kifejezve:

$\begin{array}{cc}(1+x{)}^{\alpha }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k(1)\\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,\end{array}$

A binomiális sor egy hatványsor az (1) képlet jobb oldalán, binomiális együtthatókkal kifejezve:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}):=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}.$

Speciális esetek

Ha α egy nem negatív n egész, akkor (n+1)-ik tag, és sorozat összes többi tagja 0-val egyenlő, mivel mindegyik tartalmazza a (n - n) tényezőt; így aztán a sorozat véges, és a binomiális tételt adja. A következő változat tetszőleges komplex β –ra igaz, de különösen hasznos negatív egész kitevők esetén:

$\frac{1}{(1-z{)}^{\beta +1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\beta }{k})z^k.$

Ezt bizonyítandó, helyettesítsük x=−z –t az (1) képletbe, és alkalmazzuk a binomiális együttható azonosságát.

Összegzés

A binomiális sor differenciálásával, |x| < 1 konvergencia mellett, használva az (1) képletet, egy összeget kapunk, mely egy analitikus-függvény, a (1 + x)u'(x) = α u(x) közönséges differenciálegyenlet megoldása, u(0) = 1 kezdeti értékkel. A probléma egyedi megoldása u(x) = (1 + x)^α, mely a binomiális sor összege, legalább |x| < 1.esetén. Az egyenlőség kiterjeszthető |x| = 1-re, ha a sor konvergál, Abel-féle binomiális tétel következményeképpen, és (1 + x)^α folytonossága miatt.

Történet

Sir Isaac Newtontól származnak az első eredmények, melyek a binomiális sorok kidolgozásához vezettek. Newton bizonyos görbéket vizsgált, pozitív egész kitevőkkel. Az eredményeket tovább fejlesztette John Wallis, aki a y = (1 − x²)ⁿ egyenlettel foglalkozott, n=0, 1, 2, 3,… esetekben, és tört kitevőkkel is próbálkozott. Egyértelműen a következő egyenleteket írta le:

$(1-x^2{)}^{1/2}=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{3/2}=1-\frac{3x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{1/3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}-\frac{5x^6}{81}\cdots$

A fentiek miatt a binomiális sorokat Newton binomiális elméletének is szokták hívni. Newton nem bizonyította, és nem adott egyértelmű leírást a sor természetéről; valószínűleg, mint igazoló példaként kezelte a sorokat, formális hatvány soroknak. Később Niels Henrik Abel foglalkozott emlékirataiban a sorokkal, főleg a konvergencia kérdéseivel.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Newton-sorok listája
• Abel-féle binomiális tétel
• Faktoriális
• Komplex számok
• Valós számok
• Konvergencia
• Niels Henrik Abel
• Isaac Newton