C*-algebra

A matematikában a C*-algebra olyan Banach-algebra, mely el van látva egy, az adjungálás (konjugált transzponálás) tulajdonságaival rendelkező involúcióval.

A C*-algebrákat először a kvantummechanikában alkalmazták megfigyelhető mennyiségek algebráinak leírására, Werner Heisenberg munkája során. A formalizmust matematikailag magasabb szintre Pascual Jordan fejlesztette 1933 körül. Ezt követően a C*-algebrák egyik fontos alosztályával foglalkozott Neumann János, amiket azóta Neumann-algebráknak vagy W*-algebráknak hívunk. Végül a C*-algebrák absztrakt definícióját Israel Gelfandnak és Mark Naimarknak köszönhetjük.

A C*-algebrák fontos eszközei a lokálisan kompakt csoportok unitér ábrázoláselméletének, továbbá a kvantummechanika algebrai módszerekkel való kifejezésének. Ezen módszer különösebb sikereket ért el olyan spinlánc-modellek tanulmányozásában és általánosításában, mint az AKLT-modell vagy a Majumdar-Ghosh-modell.

Alapismeretek és definíciók

Komplex asszociatív algebrának nevezünk egy olyan $A$ komplex vektorteret, melyen a szorzás $A\times A\to A,(X,Y)\mapsto XY$ asszociatív (átzárójelezhető) és bilineáris. Az algebra egységelemének nevezzük azt az egyedi $𝐈\in A$ nemnulla elemet, mely minden $X$-re teljesíti a következőt:

$A𝐈=𝐈A=A$.

Amennyiben az $A$ vektorteret az asszociatív algebra struktúrája mellett ellátjuk egy $\Vert .\Vert$ normával, amely szub-multiplikatív, tehát minden $X,Y\in A$ elemre teljesül:

$\Vert XY\Vert \le \Vert X\Vert \Vert Y\Vert$,

egy normált algebrát kapunk. Ha ebben a normált algebrában minden Cauchy-sorozat konvergens (tehát $A$ teljes), az algebrát Banach-algebrának hívjuk. Amennyiben az algebra rendelkezik egységelemmel, további feltétel, hogy annak normája 1 legyen.

Egy $A$ Banach-algebrát egy $X\mapsto X^{*}$ leképezéssel (ahol $X\in A$) *-algebrának hívunk, amennyiben:

• A leképezés minden $X\in A$-re involutív:

$X^{**}=(X^{*}{)}^{*}=X$,

• minden $X,Y\in A$-ra:

$(X+Y{)}^{*}=X^{*}+Y^{*}$

$(XY{)}^{*}=Y^{*}{X}^{*}$,

• továbbá minden komplex $\lambda \in ℂ$-ra:

$(\lambda X{)}^{*}=\bar{\lambda }{X}^{*}.$

Egy *-algebrát akkor hívunk C*-algebrának, amennyiben a következő feltétel is teljesül:

$\Vert X{X}^{*}\Vert =\Vert X{\Vert }^2,$

Egy C*-algebrák közötti $\pi :A\to B$ korlátos lineáris operátort *-homomorfizmusnak nevezünk, amennyiben a következők teljesülnek:

$\mathrm{\forall }x,y\in A:\pi (x)\pi (y)=\pi (xy)$ és $\pi (x^{*})=\pi (x{)}^{*}.$

Egy bijektív *-homomorfizmust C*-izomorfizmusnak hívunk, és amennyiben $A$ és $B$ C*-algebrák között létezik egy ilyen hozzárendelés, az algebrákat izomorfnak hívjuk.

Példák

Véges dimenziós C*-algebrák

A komplex $n\times n$ mátrixok algebrája ($\mathrm{M}(n,ℂ)$) egy C*-algebra, ha a mátrixokat komplex n-dimenziós vektorokon ható operátoroknak tekintjük és ellátjuk őket az $\Vert \cdot \Vert$ operátornormával. Ebben az esetben az involúció a konjugált transzponálás (adjungálás).

Operátorok C*-algebrái

Az egyik legismertebb példája a C*-algebráknak a $\mathscr{H}$ komplex Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátorok algebrája ($ℬ(\mathscr{H})$), amennyiben két további feltétel teljesül: $ℬ(\mathscr{H})$ topológiai értelemben zárt a norma által indukált topológiában, és minden $ℬ(\mathscr{H})$-ba tartozó operátor adjungáltja is az algebához tartozik. A Gelfand-Naimark-tétel szerint minden C*-algebra *-izomorf $ℬ(\mathscr{H})$ egy szubalgebrájával, megfelelő $\mathscr{H}$-ra.

Neumann-algebrák

A Neumann-algebrák, más néven W*-algebrák a C*-algebrák egy speciális alosztálya, melyek a gyenge operátor-topológia szerint zártak. A Sherman–Takeda-tétel szerint bármely C*-algebra duális terének duálisa egy W*-algebra.

Fizikai jelentősége

Kvantummechanikában lehetséges a fizikai rendszert egységelemmel rendelkező C*-algebrával leírni, melynek önadjungált (azaz olyan elemek, melyekre $X=X^{*}$ igaz) elemeit megfigyelhető mennyiségeknek tekintjük. A kvantumállapotot a C*-algebrán definiált pozitív lineáris funkcionál írja le, tehát egy olyan $ℂ$-lineáris $\phi :A\to ℂ$, melyre $\phi (X^{*}X)\ge 0$ teljesül minden $X\in A$-ra. Amennyiben a rendszer $\phi$ állapotban van, adott $X$ mennyiség várható értéke $\phi (X)$ lesz.

Források

• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.