Raabe–Duhamel-módszer

A matematikában a Raabe-kritérium vagy Raabe–Duhamel-szabály egy tétel bizonyos sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának megállapítására szigorúan pozitív reálértékekkel, abban az esetben, ha a közvetlen következtetés lehetetlen d'Alembert-szabállyal. Nevét Joseph Ludwig Raabe és Jean-Marie Duhamel matematikusokról kapta.

Megfogalmazás

1. verzió

Legyen egy végtelen sorozat

$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

pozitív valós összegzőkkel $a_n$, amelyek monoton csökkenő sorozatot alkotnak.

Ezután az $S$ konvergál, ha a sorozat

${\left((\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

fentről $-\alpha <-1$ határolja. Ha ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint $-1$, akkor $S$ divergens.

2. verzió

Legyen adott egy végtelen sorozat

$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

Akkor $S$ abszolút konvergens, ha valamilyen $\beta >1$ szám esetén majdnem mindig (azaz $n\ge n_0$ esetén) érvényes:

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{\beta }{n}$.

Azonban eltér, ha a $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1-\frac{1}{n}$ szinte mindig meghiúsul.

Megjegyzések

Mint mindig, amikor a sorozatok konvergencia viselkedését vizsgáljuk, ennek a kritériumnak csak majdnem minden index esetében kell teljesülnie. Váltással a feltétel végrehajtja az $S$ becslését

$T=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

a majoráns kritérium szerint, ahol $T$ a teleszkópösszeg, ahol $b_n=c_n-c_{n+1}$ a nulla sorozat felett $c_n=\frac{n-1}{\alpha -1}{a}_n$.

A fentiekkel egy sorozat maradék egyenlőtlenséget kapunk:

$S-S_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le \frac{N}{\alpha -1}{a}_{N+1}$.

Alkalmazhatósága

Ezeket a kritériumokat nehezebb alkalmazni, mint a gyökkritériumot vagy a hányadoskritériumot, de gyakran bizonytalan esetekben továbbra is konvergenciaállításokat adnak, pl. hatványsorokban a konvergenciarégió pereme viselkedésének meghatározására szolgál majd.

Irodalom

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), Sablon:ISBN

Fordítás

• Sablon:Fordítás