Argumentumelv

Az egyszerű zárt C görbe (feketével), f nullhelyei (kékkel) és f pólusai (pirossal). Itt ${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(4-5)$.

A komplex függvénytanban az argumentumelv kapcsolatba hozza egy meromorf függvény nullhelyeinek és pólusainak számát a függvény logaritmikus deriváltjának zárt út mentén való integráljával.

Speciálisan, ha f(z) meromorf egy zárt görbe, C belsejében és a görbén, és az f függvénynek nincsenek a C görbén nullhelyei illetve pólusai, akkor

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)$

ahol N és P rendre a nullhelyek és pólusok számát jelöli a C görbe belsejében multiplicitással illetve renddel számolva. A tételnek ez a alakja feltételezi, hogy a C görbe egyszerű, és az óramutató járásával ellentétesen irányított.

Általánosabban feltesszük hogy f(z) meromorf a komplex sík egy Ω nyílt részhalmazán, és legyen C zárt görbe az Ω halmazon, és itt összehúzható egy pontra, továbbá elkerüli f(z) nullhelyeit és pólusait. Jelölje minden z ∈ Ω esetén n(C,z) a C z körüli körülfordulási számát. Ekkor :${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b))$,

ahol az első összeg f nullhelyein megy végig multiplicitással, és a második f pólusain renddel számítva.

A körintegrál értelmezése

Az ${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$ körintegrál értelmezhető, mint az f(C) nulla körüli körülfordulási számának 2πi-szerese, az w = f(z) helyettesítéssel:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz={\oint }_{f(C)}\frac{1}{w}dw$

Ez f(z) argumentumának teljes megváltozása, ahogy z bejárja a teljes C görbét; ez magyarázza a tétel elnevezését, és következik abból, hogy:

$\frac{d}{dz}\log (f(z))=\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$

és az argumentum és a logaritmus kapcsolatából.

Általánosítása

Ha g analitikus a teljes $\mathrm{\Omega }$ tartományban, akkor:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}g(z)dz=2\pi i(\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b))$

ahol az első összeg f nullhelyeit futja be multiplicitással, és a második f pólusait renddel.

Alkalmazásai

Az argumentumelv használható gyökök és pólusok keresésére számítógéppel. Az $\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$ kifejezés még kerekítési hibákkal is közel egész lesz. Különböző C görbékkel információhoz juthatunk a nullhelyek és a pólusok elhelyezkedéséről. A Riemann-sejtést is argumentumelvvel tesztelik, hogy felső korlátot adjanak a Riemann-féle kszi-függvény nullhelyeire a kritikus egyenest metsző téglalapok használatával.

Rouché tételének bizonyítása felhasználja az argumentumelvet.

A visszacsatolás ellenőrzésének elméletéről szóló modern könyvek az argumentumelvvel alapozzák meg a Nyquist stabilitási kritériumot.

Egy általánosabb megfogalmazásban, ha g analitikus, akkor

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}g(z)\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

Például, ha f polinom, és gyökei a C görbe belsejében z₁, ..., z_p, és g(z) = z^k, akkor

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C{z}^k\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=z_1^k+z_2^k+\dots +z_p^k,$

f gyökeinek hatványösszeg szimmetrikus polinomja.

Egy másik következmény, hogy ha alkalmasan választjuk az f és a g függvényeket, akkor az

${\oint }_{C}f(z)\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz$

integrál az Abel–Plana-formulát adja:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=f(0)/2+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}dt$

ami kifejezi a kapcsolatot egy direkt összeg és integrálja között.

Bizonyítása

Legyen z_N nullhelye f-nek. Írhatjuk, hogy f(z) = (z − z_N)^kg(z)

ahol k a nullhely multiplicitása, így g(z_N) ≠ 0. Kapjuk, hogy

$f^{\prime }(z)=k(z-z_N{)}^{k-1}g(z)+(z-z_N{)}^k{g}^{\prime }(z)$

és

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{k}{z-z_N}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}.$

Mivel g(z_N) ≠ 0, következik, hogy a g' (z)/g(z) függvénynek nincs szingularitása z_N-ben, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a z_N helyen k.

Legyen z_P pólusa f-nek. Írhatjuk, hogy f(z) = (z − z_P)^−mh(z)

ahol m a pólus rendje, és h(z_P) ≠ 0. Ekkor a fentiekhez hasonlóan

$f^{\prime }(z)=-m(z-z_P{)}^{-m-1}h(z)+(z-z_P{)}^{-m}{h}^{\prime }(z).$

és

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{-m}{z-z_P}+\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}$

Következik, hogy a h′(z)/h(z) függvénynek nincs szingularitása a z_P helyen, mivel h(z_P) ≠ 0, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a z_P helyen −m.

Összetéve: f minden k-szoros z_N nullhelye az f′(z)/f(z) egyszerű pólusa k reziduummal, és minden m rendű z_P pólus f′(z)/f(z) egyszerű pólusa, −m reziduummal. Továbbá megmutatható, hogy az f′(z)/f(z) függvénynek nincsenek további pólusai, így további reziduumai sem.

A reziduumtétel miatt a C menti integrál 2πi és a reziduumok szorzata. Továbbá az összeg k minden z_N esetén, a nullhelyeket multiplicitással számolva, és hasonló teljesül a pólusokra is, így a tétel bizonyítása kész.

Története

Frank Smithies könyve szerint (Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997, p. 177) Augustin-Louis Cauchy 1831 november 27-én egy fentihez hasonló tételt mutatott be Turinban, a Piemont-Szardínia Királyság fővárosában, Franciaországtól távol. Azonban abban a tételben csak nullhelyekről volt szó, pólusokról nem. 1874-ben adták ki a képletet, de kézírásos formában, ami így nehezen olvasható. Cauchy 1855-ben egy cikkben diszkutálta a tételt, és abban már a pólusok is benne voltak.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1979-1982.