Abel–Plana-formula

A matematikában az Abel–Plana-formula egy összegzési formula, amit egymástól függetlenül fedezett fel Sablon:Harvs és Sablon:Harvs. Azt állítja, hogy ha az f függvény holomorf a Re(z) ≥ 0 félsíkon, és |f| növekedése korlátozható az C/|z|^1+ε függvénnyel, akkor

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx+\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}dt.$

Az előző feltételek elégségesek, de nem szükségesek, gyengébb határokkal is teljesül az összefüggés.Sablon:Harv

Alkalmazására példa a Hurwitz-féle zéta-függvény:

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+\alpha {)}^s}=\frac{{\alpha }^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2{\alpha }^s}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan \frac{t}{\alpha })}{({\alpha }^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}}\frac{dt}{e^{2\pi t}-1}.$

Abel változata az alternáló összegekre:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{2\sinh (\pi t)}dt.$

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation