Dirichlet-sor

A matematikában Dirichlet-sor minden sor, ami

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

alakú. Itt s komplex, és a egy komplex sorozat. Az általános Dirichlet-sor speciális esete.

Az analitikus számelméletben a Dirichlet-sornak számos meghatározó szerepe van. A Riemann-féle zéta-függvényt és a Dirichlet-féle L-függvényt is ilyen sorozatokkal definiálják. Azt sejtik, hogy a sorok Selberg-osztálya az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik. A sort Peter Gustav Lejeune Dirichlet után nevezték el.

Kombinatorikai jelentősége

A Dirichlet-sorozatok generátorsorozatként használhatók súlyozott halmazok leszámlálásához, ha az elemek súlya összeszorzódik a Descartes-szorzatban.

Ha A w: A → N függvények halmaza, ami súlyt rendel minden elemhez, akkor a súlyfüggvény szerint tetszőleges természetes szám ősképe véges halmaz. A súlyozott halmaz egy (A,w) alakú halmaz, ahol A és w megfelel a fenti tulajdonságoknak. Legyen továbbá a_n az A halmaz n súlyú elemeinek halmaza. Ekkor A w szerinti formális Dirichlet-féle generátorsora

${𝔇}_w^A(s)=\sum _{a\in A}\frac{1}{w(a{)}^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

Ha A, B egy (U, w) súlyozott halmaz diszjunkt részhalmazai, akkor uniójuk Dirichlet-sora a két részhalmaz Dirichlet-sorának összege:

${𝔇}_w^{A\uplus B}(s)={𝔇}_w^A(s)+{𝔇}_w^B(s).$

Továbbá, ha (A, u) és (B, v) súlyozott halmazok, akkor definiálhatjuk a Descartes-szorzatukat a következőképpen:

Legyen a súlyfüggvény w: A × B → N, $w(a,b)=u(a)v(b),$, és a tartóhalmaz $A\times B$. Ekkor:

${𝔇}_w^{A\times B}(s)={𝔇}_u^A(s)\cdot {𝔇}_v^B(s).$,

ami annak következménye, hogy $n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm{)}^{-s}.$.

Példák

A legismertebb Dirichlet-sor a Riemann-féle zéta-függvényt definiálja:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},$

A konvergenciatartománytól eltekintve:

$\begin{array}{cc}\zeta (s)& ={𝔇}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}^{\mathbb{N}}(s)=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}{𝔇}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}^{\{p^n:n\in \mathbb{N}\}}(s)=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sum _{n\in \mathbb{N}}{𝔇}_{\mathrm{i}\mathrm{d}}^{\{p^n\}}(s)\\ & =\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{(p^n{)}^s}=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sum _{n\in \mathbb{N}}{\left(\frac{1}{p^s}\right)}^n=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{1-p^{-s}}\end{array},$

mivel minden természetes szám egyértelműen felbontható prímhatványok szorzatára. Ez a tény insipálta az Euler-szorzatot.

Ismert továbbá, hogy:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

ahol µ a Möbius-függvény. Ez és több más sorozat a Möbius-féle megfordítási formula és a Dirichlet-konvolúció ismert sorozatokra való alkalmazásával megkapható. Ha χ(n) egy Dirichlet-karakter, akkor

$\frac{1}{L(\chi ,s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)\chi (n)}{n^s}$

ahol L(χ, s) a Dirichlet-féle L-függvény.

Egy másik példa:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

Továbbá:

$\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)}{n^s}$

ahol φ(n) az Euler-függvény,

$\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{J_k(n)}{n^s}$

ahol J_k a Jordan-függvény, és

$\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n^2)}{n^s}$

$\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}$

ahol σ_a(n) az osztóösszeg-függvény. A d=σ₀ specializációval

${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{n^s}$

$\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n^2)}{n^s}$

$\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n{)}^2}{n^s}.$

A zétafüggvény logaritmusa:

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

minden Re(s) > 1-re. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény. A logaritmikus derivált:

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Az utóbbi kettő a Dirichlet-sorok deriváltjainak általánosabb kapcsolatának speciális esetei.

A λ(n) Liouville-függvény esetén:

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}.$

Egy másik példa a Ramanujan-összegről:

$\frac{{\sigma }_{1-s}(m)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n(m)}{n^s}.$

Még egy példa a Möbius-függvénnyel:

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}\equiv \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mu }^2(n)}{n^s}.$

Formális Dirichlet-sorok

Egy R gyűrű feletti formális Dirichlet-sor kapcsolatba hozható egy bizonyos függvénnyel (jelöljük a-val), ami a pozitív egészek halmazából R-be képez.

$D(a,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a(n)n^{-s}$

ahol az összeadás és szorzás definíciója:

$D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a+b)(n)n^{-s}$

$D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a*b)(n)n^{-s}$

ahol

$(a+b)(n)=a(n)+b(n)$

a pontonkénti összeg, és

$(a*b)(n)=\sum _{k|n}a(k)b(n/k)$

a és b Dirichlet-konvolúciója.

A formális Dirichlet-sorok gyűrűje, sőt algebrája R fölött Ω, ahol az azonosan nulla függvény a nullelem, és δ(1)=1, δ(n)=0 minden n>1-re az egységelem. A gyűrű egy eleme invertálható, ha a(1) invertálható R-ben. Ha R kommutatív, akkor Ω is; ha R integritási tartomány, akkor Ω is az. A nem nulla multiplikatív függvények az egységek részcsoportjának részcsoportját alkotják Ω-ban. A komplex számok fölötti Dirichlet-sorozatok gyűrűje izomorf a megszámlálható sok változós formális hatványsorok gyűrűjével.

Konvergencia

Legyen {a_n}_{n ∈ N}. Vizsgáljuk azt a tartományt, ahol

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

előáll, mint a komplex s változó függvénye. Figyelembe véve a fenti sor konvergenciatulajdonságát: ha {a_n}_{n ∈ N} komplex számok korlátos sorozata, akkor a fent definiált f abszolút konvergens a Re(s) > 1 felső félsíkján. Általában, ha a_n = O(n^k), akkor a sor abszolút konvergens a Re(s) > k + 1 felső félsíkján.

Ha az a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} összeg korlátos n-ben és k ≥ 0, akkor a fenti végtelen sorozat konvergál a Re(s) > 0 felső félsíkján.

Mindkét esetben f analitikus a fenti tartományokon.

Általában, a Dirichlet-sor konvergenciaabszcisszája a valós tengely metszete a függőleges egyenessel, amelynek a jobb oldalán a sorozat konvergál, és amitől balra divergál. Ez a Dirichlet-sorokra a hatványsorok konvergenciasugarának analogonja. A Dirichlet-sorok esete bonyolultabb, mert az abszolút konvergencia és az egyenletes konvergencia félsíkja különbözhet.

Sok esetben a Dirichlet-sor által definiált függvény analitikusan folytatható egy nagyobb tartományon.

Deriválás

Adott

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

függvény esetén megmutatható, hogy

$F^{\prime }(s)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\log (n)}{n^s}$

feltéve, hogy a jobb oldal konvergál. Ha ƒ(n) teljesen multiplikatív, és feltesszük, hogy a sor konvergál minden Re(s) > σ₀-ra,akkor

$\frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}$

konvergál Re(s) > σ₀-n. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény.

Integráltranszformációk

A Dirichlet-sor Mellin-transzformációját a Perron-képlet adja meg.

Kapcsolat a hatványsorokkal

Az a_n sorozat, amit egy olyan Dirichlet-sor, mint generátorfüggvény generál, ami megfelel a következőnek:

$\zeta (s{)}^m=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, akkor a_n közönséghes generátorfüggvénye

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^a+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^{ab}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{3})\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{c=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^{abc}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{4})\sum _{a=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{c=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{d=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^{abcd}+...$

Források

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Sablon:ISBN
• Sablon:Cite book
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite arxiv
• Sablon:Cite book

• Sablon:Planetmath reference

Fordítás

• Sablon:Fordítás