Khí-négyzet-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k darab független normális eloszlású valószínűségi változónak a négyzetösszege.

Ez az eloszlás széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidenciaintervallum létrehozásakor.

Ha szükséges a khí-négyzet-eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet-eloszlástól, akkor szokták néha centrális khí-négyzet-eloszlásnak is nevezni.

A khí-négyzet-eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet-eloszlás a gamma-eloszlás egy speciális esete.

Definíció

Ha Z₁, ..., Z_k független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a négyzeteik összege,

$Q=\sum _{i=1}^k{Z}_i^2,$

a khí-négyzet-eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:

$Q\sim {\chi }^2(k)\text{vagy}Q\sim {\chi }_k^2.$

A khi-négyzet-eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív egész, mely a szabadságfok mértéke.

Valószínűség-sűrűségfüggvény

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A khí-négyzet-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)},& x\ge 0;\\ 0,& \text{más esetben}.\end{array}$

ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli.

Kumulatíveloszlás-függvény

A kumulatíveloszlás-függvény:

$F(x;k)=\frac{\gamma (\frac{k}{2},\frac{x}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}=P(\frac{k}{2},\frac{x}{2}),$

Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k = 2, létezik egy egyszerű képlet:

$F(x;2)=1-e^{-\frac{x}{2}}.$

Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet-eloszlásnál.

Additivitás

A khí-négyzet-eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet-változók összege is khí-négyzet-eloszlású. Speciálisan, ha {X_i}_i=1ⁿ független khí-négyzet-eloszlású változók {k_i}_i=1ⁿ szabadságfokkal, akkor Sablon:Nowrap is khí-négyzet-eloszlásúak Sablon:Nowrap szabadságfokkal.

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája:

$H=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;k)\ln f(x;k)dx=\frac{k}{2}+\ln \left(2\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)\right)+(1-\frac{k}{2})\psi \left(\frac{k}{2}\right),$

ahol ψ(x) a digamma-függvény. A khí-négyzet-eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség-eloszlása, ahol $E(X)=\nu$ rögzített és $E(\ln (X))=\psi \left(\frac{1}{2}\right)+\ln (2)$ is rögzített.

Nem centrális momentumok

A k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás zéró körüli momentumai:

$\mathrm{E}(X^m)=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^m\frac{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{k}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}.$

Kumulánsok

A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatványsor-kiterjesztésével kaphatók meg:

${\kappa }_n=2^{n-1}(n-1)!k$

Aszimptotikus tulajdonságok

A centrális határeloszlás tételéből következően mivel a khi-négyzet-eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél.

Praktikus okok miatt k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.

Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a $(X-k)/\sqrt{2k}$ eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség $\sqrt{8/k}$, és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet-eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa:

• Ha X ~ χ²(k), akkor $\sqrt{2X}$ közel normálisan eloszlású, $\sqrt{2k-1}$ középértékkel.
• Ha X ~ χ²(k), akkor $\sqrt[3]{X/k}$ közel normálisan eloszlású $1-2/(9k)$ középértékkel és $2/(9k).$ szórásnégyzettel Ezt Wilson–Hilferty-transzformációnak hívják.

Kapcsolódó eloszlások

• $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\chi }_k^2(x)-{\mu }_k}{{\sigma }_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$ (normális eloszlás)
• ${\chi }_k^2\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(0)$ (nem-centrális khí-négyzet-eloszlás nem-centralitás paraméterrel $\lambda =0$)
• Khí-négyzet-eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja
• T-eloszlás, a khí-négyzet-eloszlás egy transzformációja
• A T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból
• A nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból

Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet-eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet-eloszlásnak hívják. A khí-négyzet-eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például:

• Y F-eloszlású, Y ~ F(k₁,k₂) ha $Y=\frac{X_1/k_1}{X_2/k_2}$ ahol X₁ ~ χ²(k₁), és X₂  ~ χ²(k₂) statisztikailag független.

• Ha X khí-négyzet-eloszlású, akkor $\sqrt{X}$ khí-eloszlású.
• Ha Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap statisztikailag független, akkor Sablon:Nowrap. Ha X₁ and X₂ nem függetlenek, akkor Sablon:Nowrap nem khí–eloszlású.

Általánosítás

A khí-négyzet-eloszlást a gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.

Khí-négyzet-eloszlások

Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás

A nem-centrális khí-négyzet-eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység-szórásnégyzettel és nem zéró középértékkel rendelkeznek.

Általánosított khí-négyzet-eloszlás

Az általánosított khí-négyzet-eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z a zéró középértékű gaussi vektor tetszőleges kovariáns mátrixxal, A pedig egy tetszőleges mátrix.

Gamma-, exponenciális és kapcsolódó eloszlások

A X ~ χ²(k) khí-négyzet-eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 1/2), ahol k egy egész. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel és ½ skálaparaméterrel.

Alkalmazások

A khí-négyzet-eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet-teszt vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normáliseloszlás-középérték becslésének a problémáját és a regressziós vonal meredekségének a becslését a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet-analízis problémájában is van szerepe az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a Sablon:Nowrap független valószínűségi változókra alapozva:

Név	Statisztika
Khí-négyzet-eloszlás	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Khí-eloszlás	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
Nem-centrális khí-eloszlás	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűség-eloszlások listája
• Normális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Burr-eloszlás

Külső hivatkozások

• A khí-négyzet-eloszlás a MathWorld-ön
• A khí-négyzet-eloszlás a Debreceni Egyetem oldalán
• A khí-négyzet-eloszlás a Yale Egyetem oldalán
• Szimuláció
• Rövid leírás