Weierstrass-elmélet

Sablon:Hasonló A Weierstrass-elmélet a matematikában egy hatványsorok egy bizonyos alakú szorzattá bontásáról szóló tételcsalád. Az említett szorzat egyik tényezője ekkor egy úgynevezett kitüntetett vagy Weierstrass-polinom, (egy) másik tényezője pedig egy megfelelő értelemben vett egység. Weierstrass-elméletről beszélhetünk a többváltozós komplex analízisben, valamely teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok esetében, illetve Tate-algebrákban.

Többváltozós komplex analízis

Az egyváltozós komplex analízisben megmutatható, hogy ha egy $f(z)$ függvény holomorf a 0 egy nyílt környezetében, akkor felírható z egy hatványának és egy 0-ban nem eltűnő holomorf függvénynek a szorzataként. Ekkor a z kitevője a 0 zérushely multiplicitása.

Ezt általánosítja a Weierstrass-előkészítésitétel:

Legyen $f(z_1,\dots ,z_n)$ egy n-változós holomorf függvény a $(0,\dots ,0)$ egy nyílt környezetében úgy, hogy $f(0,\dots ,0)=0$ valamely s multiplicitással, és az $f(0,\dots ,0,z_n)$ egyváltozós függvény nem azonosan nulla. Ekkor $(0,\dots ,0)$ valamely környezetében f felírható

$f(z_1,\dots ,z_n)=g(z)(z_n^s+\sum _{i=1}^s{f}_i(z_1,\dots ,z_{n-1})z_n^{s-i})$

szorzatalakban, ahol minden i-re $f_i$ $n-1$ változós holomorf függvény, $f_i(0,\dots ,0)=0$, g pedig holomorf és nem tűnik el a $(0,\dots ,0)$ egy környezetében.Sablon:Refhely

Ehelyett az analitikus megfogalmazás helyett a tétel kimondható algebrai formában is:

Legyen $f\in ℂ[[z_1,\dots ,z_n]]$, és legyen s az f legkisebb fokú nemnulla együtthatós monomja. Ekkor f felírható

$f(z_1,\dots ,z_n)=g(z)(z_n^s+\sum _{i=1}^s{f}_i(z_1,\dots ,z_{n-1})z_n^{s-i})$

szorzatalakban, ahol $f_1,\dots ,f_s\in ℂ[[z_1,\dots ,z_{n-1}]]$ zeró konstans taggal, és $g\in ℂ[[z_1,\dots ,z_n]]$ nemzéró konstans taggal. Továbbá ez a szorzatalak egyértelmű.Sablon:Refhely

A két megfogalmazás ekvivalenciáját a holomorficitás és analiticitás közti kapcsolat adja. A második megfogalmazás arra is rámutat, hogy a tétel lényegében algebrai állítás.

Ebben az algebrai kontextusban mondjuk ki a Weierstrass-maradékososztási tételt:

Legyen $f,g\in ℂ[[z_1,\dots ,z_n]]$, legyen $g(0,\dots ,0)=0$ valamely s multiplicitással, és tegyük fel, hogy $g(0,\dots ,0,z_n)$ nem azonosan nulla. (Azaz g teljesíti az előkészítési tétel feltételeit.) Ekkor léteznek egyértelmű $q\in ℂ[[z_1,\dots ,z_n]]$ és $r\in ℂ[[z_1,\dots ,z_{n-1}]][z_n]$ legfeljebb $s-1$ fokú polinom úgy, hogy r együtthatói eltűnnek $(0,\dots ,0)$-ban, és

$f=gq+r$.Sablon:Refhely

Tate-algebrák

Legyen K egy test egy nemtriviális nemarkhimédeszi abszolút értékkel, amire nézve K teljes. A komplex analízissel való analógiában ez a K test játssza a komplex számok szerepét: a különbség abban áll, hogy K nemarkhimédeszi, míg $ℂ$ arkhimédeszi teljes test. A Tate-algebrák elmélete a rigid geometriához tartozik: ezen terület célja a komplex geometriával analóg elmélet felépítése nemarkhimédeszi testek felett.

A $K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ Tate-algebra azon K feletti n-változós formális hatványsorokból áll, amiknek együtthatói nullához tartanak:

$K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩=\{\sum _{\nu \in {\mathbb{N}}^n}{c}_{\nu }{\zeta }^{\nu }\in K[[{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n]]:c_{\nu }\in K,\underset{|\nu |\to \mathrm{\infty }}{\lim }|c_{\nu }|=0\}$

Itt ${\zeta }^{\nu }=({\zeta }_1^{{\nu }_1},\dots ,{\zeta }_n^{{\nu }_n})$, ha $\nu =({\nu }_1,\dots ,{\nu }_n)$, és $|\nu |={\nu }_1+\dots +{\nu }_n$. A Tate-algebra elemeit megszorított vagy szigorúan konvergens hatványsoroknak is nevezik.Sablon:Refhely A szigorúan konvergens hatványsorok megfelelői a komplex analízisben az analitikus függvények, azaz azok a függvények, amik megadhatók konvergens hatványsorral.

A Tate-algebra Banach-algebra a következő módon definiált Gauss-normára nézve:Sablon:Refhely

$\left|\sum _{\nu \in {\mathbb{N}}^n}{c}_{\nu }{\zeta }^{\nu }\right|=\underset{\nu }{\max }|c_{\nu }|$

Legyen f a $K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ Tate-algebra egy eleme. Ekkor f felírható olyan hatványsorként ${\zeta }_n$ változóval, aminek együtthatói $n-1$ változós megszorított hatványsorok, azaz

$f=\sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}{f}_{\nu }{\zeta }_n^{\nu }$,

ahol $f_{\nu }\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-1}⟩$. Az f megszorított hatványsort s rendű ${\zeta }_n$-kitüntetettnek nevezzük, ha van olyan $s\ge 0$, hogy $f_s\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-1}{⟩}^{\times }$ egy egység, $|f_s|=|f|$, és minden $\nu >s$-re $|f_s|>|f_{\nu }|$.Sablon:Refhely

A Tate-algebrák Weierstrass-maradékososztási tétele a következő:

Legyen $g\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ s rendű ${\zeta }_n$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor minden $f\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ megszorított hatványsorra létezik egy egyértelmű $q\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ megszorított hatványsor és egy egyértelmű $r\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-1}⟩[{\zeta }_n]$ megszorított hatványsor együtthatós legfeljebb $s-1$-edfokú polinom, hogy

$f=gq+r$.

Ekkor $|f|=\max (|q|\cdot |g|,|r|)$.Sablon:Refhely

A megfelelő Weierstrass-előkészítésitétel pedig a következő:

Legyen $g\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n⟩$ s rendű ${\zeta }_n$-kitüntetett megszorított hatványsor. Ekkor létezik egy egyértelmű egy főegyütthatójú $\omega \in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-1}⟩[{\zeta }_n]$ s-edfokú polinom és egy $e\in K⟨{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n{⟩}^{\times }$ egység, hogy

$f=e\omega$.

Ekkor $|\omega |=1$, így $\omega$ s rendű ${\zeta }_n$-kitüntetett.Sablon:Refhely

Teljes lokális gyűrű feletti formális hatványsorok

Kommutatív gyűrűk

Legyen $𝒪$ egy teljes kommutatív lokális Noether-gyűrű $𝔪$ maximális ideállal és és pozitív p karakterisztikájú $𝒪/𝔪$ maradéktesttel. Ilyen $𝒪$ például a p-adikus egészek ${\mathbb{Z}}_p$ gyűrűje, vagy általánosabban az egészek gyűrűje a p-adikus számok ${\mathbb{Q}}_p$ testének valamely véges bővítésében.

Legyen továbbá $\mathrm{\Lambda }=𝒪[[T]]$ az $𝒪$ feletti egyváltozós hatványsorok gyűrűje.

A Weierstrass-maradékososztási tétel ebben az esetben a következő:

Legyenek $f,g\in \mathrm{\Lambda }$ hatványsorok úgy, hogy $g\notin 𝔪\mathrm{\Lambda }$, és legyen n a legnagyobb olyan egész szám, amire $g\in 𝔪\mathrm{\Lambda }+T^n\mathrm{\Lambda }$. Ekkor egyértelmű létezik olyan $q\in \mathrm{\Lambda }$ hatványsor és $r\in 𝒪[T]$ legfeljebb $n-1$ fokú polinom, hogy

$f=gq+r$.Sablon:Refhely

A $\mathrm{\Lambda }$ gyűrűben egy polinomot kitüntetettnek nevezünk, ha 1 főegyütthatójú és minden további együtthatója $𝔪$-ben van.

A Weierstrass-előkészítésitétel a következő:

Legyen $f\in \mathrm{\Lambda }-𝔪\mathrm{\Lambda }$. Ekkor egyértelműen létezik egy g kitüntetett polinom és egy $u\in {\mathrm{\Lambda }}^{\times }$ egység úgy, hogy

$f=gu$.Sablon:Refhely

Speciálisan ha $𝔪=\pi \mathrm{\Lambda }$ egy főideál, akkor bármely $f\in \mathrm{\Lambda }$ egyértelműen felírható

$f={\pi }^{\mu }gu$

szorzatként, ahol g és u a fenti feltételeket teljesítik.Sablon:Refhely

A Weierstrass-maradékososztás gyengébb az euklideszi algoritmusnál, mert g nem választható a gyűrű tetszőleges nemnulla elemének. Ugyanakkor analógiában azzal, hogy bármely euklideszi gyűrű alaptételes, igaz a következő:

Ha $𝒪$ főideálgyűrű, akkor $\mathrm{\Lambda }$ alaptételes.Sablon:Refhely

Az $𝒪[[T]]$ alakú gyűrűk fontos szerepet játszanak az Iwasawa-elméletben, ahol ezeket (más hasonló gyűrűkkel együtt) Iwasawa-algebráknak nevezik. Az Iwasawa-elmélet alapvető fontosságú tétele az Iwasawa-algebrák feletti végesen generált modulusok struktúratétele. Ez a főiedálgyűrű feletti végesen generált modulusok struktúratételéhez hasonló állítás, és a bizonyítása is jelentős részben hasonlít a főidelgyűrűk feletti állításéra. A bizonyításban szerepet játszik a Weierstrass-maradékososztás is.Sablon:Refhely

Nemkommutatív gyűrűk

Kommutatív gyűrű feletti formális hatványsorok helyett vizsgálható egy nemkommutatív gyűrű feletti ferde hatványsorok gyűrűje is. Ennek definíciója a következő. Legyen R egy nem feltétlenül kommutatív gyűrű, $\sigma :R\to R$ egy endomorfizmus, $\delta :R\to R$ pedig egy $\sigma$-deriválás, azaz egy olyan csoporthomomorfizmus, amire

$\delta (rs)=\delta (r)s+\sigma (r)\delta (s)$ minden $r,s\in R$-re.

Az R feletti ferde formális hatványsorok $R[[X;\sigma ,\delta ]]$ gyűrűje mint halmaz a formális hatványsorok $R[[X]]$ gyűrűjéből áll, az összeadás tagonként történik, a szorzás pedig az

$Xr=\sigma (r)X+\delta (r)$

szabály szerint. Könnyen látható, hogy ha $\sigma$ az identitás, $\delta$ pedig azonosan nulla, akkor $R[[X;\sigma ,\delta ]]=R[[X]]$.Sablon:Refhely

Ha R egy nem feltétlenül kommutatív lokális gyűrű, ami Hausdorff és teljes a maximális ideál által meghatározott topológiára nézve, akkor az R feletti ferde formális hatványsorok gyűrűjére általánosíthatók a kommutatív eset Weierstrass-maradékososztási és -előkészítési tételek.Sablon:Refhely

Források

• Sablon:Hely Sablon:Cite book
• Sablon:Hely Sablon:Cite web
• Sablon:Hely Sablon:Cite web
• Sablon:Hely Sablon:Cite journalSablon:Halott link
• Sablon:Hely Sablon:Cite book