Számtartományok

Sablon:Nincs forrás A számtartomány számokból álló halmaz, röviden számhalmaz. A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig, és közben mindegyik új számhalmaznak a régi a részhalmaza volt.

1. Természetes számok halmaza (N): A pozitiv egész számok, amelyek 1, 2, 3, stb. Ez a legalapvetőbb számhalmaz. Ha egy halmaz tartalmazza az 1, 2 számokat és minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. A számjegyeket az ún. arab számjegyekkel ábrázoljuk (például 1, 2, 16, 36156 stb.). Jelölése N. Nem minden országban tartozik azonban bele a természetes számok halmazába a nulla. A matematikusok nem értenek egyet abban, hogy a nulla természetes szám-e. A félreértések elkerülése végett mindig tisztázni kell, hogy melyik halmazról van szó: N₀ beleértve, N⁺ nem értve bele. A matematika tanításában országonként változhat a megállapodás; például Magyarországon úgy tanítják, hogy a nulla természetes szám, míg Szlovákiában nem.

2. Nemnegatív egész számok halmaza (W): A természetes számok, beleértve a nullát is. (pl.: W={0,1,2,3,…})

3. Egész számok halmaza (Z): Az egész számok és azok negatívjai. (pl.: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}) A negatív számokat a gyakorlatban is széles körben használjuk, elég csak az időjárásra (például „–5 °C van kint”), vagy a banki átutalásokra (például –5000 Ft azt jelenti, hogy 5000 forintot vettek le a számláról stb.) gondolni. Jele Z.

4. Racionális számok halmaza (Q): Olyan számok, amelyek két egész szám hányadosaként fejezhetők ki, ahol a nevező nem nulla. (pl.: $Q=\{\frac{a}{b}\mid a,b\in Z,b\ne 0\}$). Amikor már nem volt elég az egész számok halmaza se a matematikai műveletekhez (például $\frac{5}{2}=2,5$, vagy $\frac{1}{3}\approx 0,\overline{3}$), akkor az egész számok halmaza újabb számokkal bővült, mégpedig azokkal, amelyeket felírhatunk tört formájában (vagyis $\frac{a}{b}$, ahol $b\ne 0$). Jelölése Q.

5. Irracionális számok halmaza (I): Olyan számok, amelyek nem fejezhetők ki két egész szám hányadosaként, és tizedes tört alakjuk nem záródik le és nem ismétlődik. Ide tartoznak a matematikai állandók amik olyan számszerű értékek, amelyeket matematikai összefüggésekben és formulákban használnak. Ezek közé tartozik például a kört jellemző pi (π), az exponenciális függvény alapjaként szolgáló Euler-féle szám (e), az aranymetszés aránya (φ), a kettő gyök alatt ($\sqrt{2}$) és a természetes logaritmus alapja (ln). Ezek az állandók fontos szerepet játszanak matematikai analízisekben, fizikai törvényszerűségekben és más tudományos alkalmazásokban is.

6. Valós számok (R): Az összes racionális és irracionális szám kombinációja.

7. Komplex számok: Egy komplex szám olyan szám, amely az a+bi formában fejezhető ki, ahol a és b valós számok, és i az imaginárius egység, melyre érvényes, hogy $i^2=-1$, vagy a négyzetgyökvonás jelének értelmezését kibővítve: $i=\sqrt{-1}$. Ezekkel a számokkal már megoldhatóak az $x^2=-4$ jellegű egyenletek, amelynek mindkét gyöke a komplex számok halmazán $2i$ és $-2i$.

Az elemi matematikában az összes számhalmaz a következő részhalmaza, vagyis $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ.$ Amennyiben a számtartományok formális és nem-axiomatikus eszközökkel való felépítését fogadjuk el, ezen szigorú és rendszeres algebrai vagy analitikus konstrukciók során a fenti relációlánc egyik-másik vagy akár az összes eleme érvénytelenné válhat. A „felsőbb” matematikában ezen tartományok nem feltétlenül részhalmazai egymásnak, hanem egy gyengébb kapcsolat van köztük, nevezetesen, beágyazhatóak egymásba.

A Komplex Számokon Túl

Vannak más számrendszer-kiterjesztések is a komplex számokon túl, de ezek speciálisabbak és fejlettebbek, gyakran magasabb szintű matematikában találkozhatunk velük:

Kvaterniók: A kvaterniók a komplex számokat négy dimenzióra terjesztik ki.

   Egy kvaternió az a+bi+cj+dk formában fejezhető ki, ahol i, j, k az alapvető kvaternió egységek.

Oktoniók: Az oktoniók a kvaterniókat nyolc dimenzióra terjesztik ki.

   Bonyolultabb szorzási szerkezetük van, és nem asszociatívak.

Hiperreális Számok: A hiperrális számok a valós számokat kiterjesztik végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségekkel.

   Nem standard analízisben használatosak.

Szürreális Számok: A szürreális számok egy sokkal nagyobb osztályt alkotnak, amely magában foglalja a valós számokat, végtelen számokat és végtelen kicsi számokat.

   Játékelméletben és kombinatorikus játékelméletben alkalmazhatók.Sablon:Navbox