Reciprokrács

Egy kétdimenziós rács (balra) és annak reciprokrácsa (jobbra).

A szilárdtestfizikában reciprokrácsnak nevezzük azt a rácsot, melyet egy direkt térbeli rács (például egy Bravais-rács) Fourier-transzformálásával kapunk. A direkt rács jellemzően pontok periodikus szerkezete a valós térben, mely a kristály geometriai absztrakciója, míg a reciprokrács a reciproktérben (más kifejezéssel momentumtérben, hullámszámtérben vagy k-térben) adható meg. A reciprokrács reciprokrácsa (a Fourier-transzformáció jellemzőiből adódóan) maga a direkt rács.

A reciprokrács nem pusztán elméleti konstrukció, az anyagtudományban és a kristálytanban igen gyakran meghatározzák. Gyakori példák a diffrakciós kísérletek értelmezése a reciprokrács segítségével, az Ewald-szerkesztés, a rácssíkok, irányok jellemzése Miller-indexekkel, stb.

Matematikai háttér

Tekintsük az R direkttérbeli rácsvektorok által kijelölt R pontokat, melyek egy Bravais-rácsot alkotnak. Egy síkhullám hullámegyenlete ekkor:

$e^{i𝐊\cdot 𝐫}=\cos (𝐊\cdot 𝐫)+i\sin (𝐊\cdot 𝐫)$.

Ha ennek a síkhullámnak a periódusa megegyezik a Bravais-rács periódusával, akkor érvényes a következő egyenlet:

$e^{i𝐊\cdot \mathbf{(}𝐫\mathbf{+}𝐑\mathbf{)}}=e^{i𝐊\cdot 𝐫}$,

$e^{i𝐊\cdot 𝐫}\cdot e^{i𝐊\cdot 𝐑}=e^{i𝐊\cdot 𝐫}$,

$\Rightarrow e^{i𝐊\cdot 𝐑}=1$.

Megadhatjuk a reciprokrácsot azon K vektorok halmazaként, melyek teljesítik a fenti összefüggést az összes R direktrács-vektorral. A reciprokrács szintén Bravais-rács lesz, melynek reciproka ismét visszaadja a direkt rácsot.

Egy $({𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}})$ primitív rácsvektorokkal megadott végtelen kétdimenziós rács reciprokrácsának rácsvektorai az alábbiak szerint fejezhetők ki:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=2\pi \frac{(\hat{x}\otimes \hat{y}-\hat{y}\otimes \hat{x}){𝐚}_{\mathrm{𝟐}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot (\hat{x}\otimes \hat{y}-\hat{y}\otimes \hat{x}){𝐚}_{\mathrm{𝟐}}}$,

${𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=2\pi \frac{(\hat{y}\otimes \hat{x}-\hat{x}\otimes \hat{y}){𝐚}_{\mathrm{𝟏}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\cdot (\hat{y}\otimes \hat{x}-\hat{x}\otimes \hat{y}){𝐚}_{\mathrm{𝟏}}}$,

ahol "$\otimes$" tenzorszorzatot jelöl az $\hat{x}$ és $\hat{y}$ egységvektorok között.

A $({𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}},{𝐚}_{\mathrm{𝟑}})$, primitív rácsvektorokkal megadott háromdimenziós rács reciprokrács-bázisvektorai az alábbiak szerint adható meg:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})}$,

${𝐛}_{\mathrm{𝟐}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟏}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟏}})}$,

${𝐛}_{\mathrm{𝟑}}=2\pi \frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟐}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟐}})}$.

A nevezők itt vegyes szorzatok. Ugyanez kifejezhető másféleképpen is, ha a vektorokat oszlopvektorként tekintve mátrix-formalizmust használunk, ekkor a reciprokrács-bázisvektorok mártix invertálással fejezhetők ki:

${\left[{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}{𝐛}_{\mathrm{𝟑}}\right]}^T=2\pi {\left[{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}\right]}^{-1}.$

Ez utóbbi definíció lehetőséget ad a magasabb dimenziók esetére való általánosításra, míg a vegyes szorzaton alapuló definíció inkább a háromdimenziós esetben célszerű, így az elterjedtebb a kristálytanban és az anyagtudományos méréstechnikában.

A fentivel analóg módon úgy is definiálhatjuk a reciprokrács-vektorokat, hogy a $2\pi$ konstans előtagot a $e^{2\pi i𝐊\cdot 𝐑}=1$ feltételben vesszük figyelembe, amivel a reciproktérbeli bázis vektorai:

${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}=\frac{{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}}}{{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\times {𝐚}_{\mathrm{𝟑}})}$,

alakba írhatók (a többi vektor ezzel analóg). Ennek a definíciónak, melyet a kristálytani gyakorlatban gyakran alkalmaznak, az az előnye, hogy a ${𝐛}_{\mathrm{𝟏}}$ vektor hossza ekkor éppen ${𝐚}_{\mathrm{𝟏}}$ hosszának reciproka lesz. Ekkor a reciprokrács-vektor valójában térfrekvenciaként fogható fel, melyhez könnyebb szemléletes fizikai magyarázatot adni. Adott alkalmazásban ügyelni kell rá, hogy a fenti két definíció közül mindig csak az egyiket alkalmazzuk.

A reciprokrács egy fontos alkalmazása, hogy annak egy (hkl) koordinátájú pontja direkt térbeli rácssíkoknak és ezekre merőleges rácsirányoknak feleltethető meg. A (hkl) indexeket Miller-indexeknek nevezzük. A reciprokrács-vektor hossza a direkt rács adott rácssíkjára merőleges rácssík-távolsággal hozható összefüggésbe

A reciprokrács a kristályanalitika egy alapvető fogalma, melyet a gyakorlatban is gyakran alkalmaznak például a diffrakciós vizsgálatok eredményeinek értelmezésére, például a röntgen-, elektron- és neutrondiffrakciós vizsgálatokban. A szórási kísérletekben a beeső és szórt nyaláb hullámszámának különbsége reciprok-rácsvektor, így a diffrakciós képből a reciprokrácsról nyerhető közvetlen információ.

A szilárdtestfizikában gyakran említett, a szilárdtestek jellemzőinek megértését szolgáló Brillouin-zóna valójában a reciprokrács Wigner–Seitz-cellája.

Néhány egyszerű rács reciprokrácsa

Egyszerű köbös rács

Az egyszerű köbös Bravais-rácsnak, melynek primitív cellája $a$ élhosszúságú kocka, a reciprokrácsa szintén köbös rács $\begin{array}{c}\frac{2\pi }{a}\end{array}$ élhosszúsággal (a kristálytani definícióban ez $\begin{array}{c}\frac{1}{a}\end{array}$). Ezért azt mondhatjuk, hogy a kockarács önmaga duálisa.

Lapcentrált és tércentrált köbös rácsok viszonya

A lapcentrált köbös Bravais-rács (FCC) reciprokrácsa tércentrált köbös Bravais-rács (BCC). Ugyanígy, az összefüggés fordítva is teljesül.

Könnyen belátható továbbá, hogy csak a páronként 90 fokot bezáró $({𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}},{𝐚}_{\mathrm{𝟑}})$ bázisvektorokkal jellemezhető rácsokra (azaz az ortorombos, a tetragonális és a kockarács esetén) teljesül, hogy a $({𝐛}_{\mathrm{𝟏}},{𝐛}_{\mathrm{𝟐}},{𝐛}_{\mathrm{𝟑}})$ reciprokrács-bázisvektorok párhuzamosak a direktrács rácsvektoraival.

Egyszerű hexagonális rács

Az egyszerű, a és c rácsállandókkal jellemzett hexagonális rács reciprokrácsa szintén egyszerű hexagonális rács, melynek rácsállandói $\begin{array}{c}\frac{2\pi }{c}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}\frac{4\pi }{a\sqrt{3}}\end{array}$ és ezeka direkt rácsbeli c tengely körül 30°-kal elforgatottak.

A reciprokrács reciprokrácsára vonatkozó tétel bizonyítása

A következőkben megmutatjuk, hogy egy direkt rács reciprokrácsának reciprokrácsa maga a direkt rács.

Tudjuk, hogy a Bravais-rácsvektorok zártak a vektorok összeadására és kivonására, azaz rácsvektorok összege és különbsége is rácsvektor. Ekkor ha tekintünk két rácsvektort, melyekre

$e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\cdot \mathbf{(}𝐑\mathbf{)}}=1$,

és

$e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟐}}\cdot \mathbf{(}𝐑\mathbf{)}}=1$,

akkor a két vektor ${𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\pm {𝐊}_{\mathrm{𝟐}}$ összegére és különbségére is fennáll az összefüggés, azaz

$e^{i\mathbf{(}{𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐊}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\cdot \mathbf{(}𝐑\mathbf{)}}=e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\cdot 𝐑}\cdot e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐑}=1\cdot 1=1$

$e^{i\mathbf{(}{𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐊}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\cdot \mathbf{(}𝐑\mathbf{)}}=e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟏}}\cdot 𝐑}/e^{i{𝐊}_{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐑}=1$.

Ebből következik, hogy a reciprokrács-vektorok is zártak az összeadásra és kivonásra. Továbbá bármely reciprokrács-vektor kifejezhetó a reciprokrács primitív vektoraival:

$𝐊=k_1{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}+k_2{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}+k_3{𝐛}_{\mathrm{𝟑}}$.

A definíciója alapján látható, hogy egy ${𝐛}_{𝐢}$ reciprokrács bázisvektorra teljesül, hogy:

${𝐛}_{𝐢}\cdot {𝐚}_{𝐣}=2\pi {\delta }_{ij}$,

ahol ${\delta }_{ij}$ a Kronecker-delta. Legyen R direkt rácsbeli vektor, mely szintén felírható a direkt rácsbeli bázisban:

$𝐑=n_1{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}+n_2{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}+n_3{𝐚}_{\mathrm{𝟑}}$.

A fentiekből látjuk, hogy:

$𝐊\cdot 𝐑=2\pi (k_1{n}_1+k_2{n}_2+k_3{n}_3)$.

A definíció szerint a reciprok-rácsvektoroknak teljesíteniük kell az alábbi összefüggést:

$e^{i𝐊\cdot 𝐑}=1$

Ez akkor teljesül, ha a $𝐊\cdot 𝐑$ szorzat $2\pi$ egész számú többszöröse. Ez viszont teljesül, ugyanis $n_i\in \mathbb{Z}$, és $k_i\in \mathbb{Z}$. Azaz a reciprokrács szintén Bravais-rács. Továbbá ha a $𝐊$ vektorok reciprokrácsot alkotnak, akkor bármely $𝐆$ vektor, melyre teljesül, hogy

$e^{i𝐆\cdot 𝐊}=1$

az reciprokrács reciprokrácsának vektora lesz. $𝐊$ vektor meghatározásából, ha $𝐆$ éppen egy $𝐑$ direkt rácsvektor, akkor visszakapjuk, hogy:

$e^{i𝐑\cdot 𝐊}=1$

Ebből pedig következik a bizonyítandó állítás.

Kapcsolódó szócikkek

• Kristálytan
• Duális bázis
• Ewald-gömb
• Miller-index
• Brillouin-zóna

Források

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html Sablon:Wayback – Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice