Rámpafüggvény

Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (például DSP) is alkalmazzák. A szabályozáselméletben egységnyi sebességugrás néven ismeretes.

A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.

Definíciói

A „rámpafüggvény” grafikonja

(ahol H(x) az ún. Heaviside-függvény, o pedig a konvolúció művelete).

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: R(x)≥0

és

|R(x)| = R(x) .

• Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált

Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:

R'(x) = H(x)  ha  x≠0 .

Ugyanis

• ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ^–-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
• ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ⁺) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
• 0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az [5]. definíció.

Fourier-transzformált

${ℱ}_k(R(x))$ $=$ $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\pi ikx}R(x)dx$ $=$ $\frac{i{\delta }^{\prime }(k)}{4\pi }-\frac{1}{4{\pi }^2{k}^2}$

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).

Algebrai tulajdonságok

Iteráció-invariancia

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy

R(R(x)) = R(x) .

• Biz.: $R(R(x)):=\frac{\frac{x+|x|}{2}+\left|\frac{x+|x|}{2}\right|}{2}=\frac{R(x)+|R(x)|}{2}=\frac{R(x)+R(x)}{2}$ $=$
  $=$ $\frac{2R(x)}{2}=R(x)$.

Felhasználtuk (a harmadik egyenlőségjel után) a nemnegativitást.

Lásd még

• abszolút érték
• Heaviside-függvény

Irodalom

• Mathworld (angolul)