Polinombázisok

A polinombázisok bázisok a polinomok vektorterében. A legfeljebb n-edfokú polinomok n+1 dimenziós vektorterében az általában használt polinombázisok első n+1, legfeljebb n-edfokú eleme bázist ad.

Egyváltozós esetben a szóba jövő polinomok értelmezhetők a valós számokon, ennek egy intervallumán vagy a komplex számok fölött. Többnyire valós számok fölötti polinomokkal foglalkozunk.

Az elméleti fizikában fontos szerepet kapnak a polinombázisok, például az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.

Ortogonális polinomok

Sablon:Bővebben Polinomok esetén a bezárt szög meghatározása a következőképpen történik: legyen két polinom a P(x) és a Q(x). Általánosított skalárszorzatuk

$⟨P(x),Q(x)⟩:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varrho (x)P(x)Q(x)\mathrm{d}x,$

ahol [a, b] adott intervallum és ρ(x) pedig adott súlyfüggvény, a közrezárt szög pedig

$\theta :=\arccos \left(\frac{⟨P(x),Q(x)⟩}{|P(x)|\cdot |Q(x)|}\right),$

ahol az arccos() a koszinuszfüggvény inverze, a | | pedig az L²-normát jelöli:

$|P(x)|:=\sqrt{⟨P(x),P(x)⟩}=\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varrho (x)P^2(x)\mathrm{d}x}.$

Két nem nulla normájú polinom akkor merőleges (más szóval ortogonális), ha a fentiekben definiált Θ közrezárt szög 90°, azaz akkor és csak akkor, ha a skalárszorzatuk éppen nulla:

$⟨P(x),Q(x)⟩=0.$

Egy nulla normájú polinomot definíció szerint ortogonálisnak tekintünk minden más polinommal. Könnyen belátható a definícióból, hogy az ortogonalitás szimmetrikus reláció, vagyis ha P(x) és Q(x) ortogonális polinomok, akkor Q(x) és P(x) is ortogonálisak.

Példa

Vegyük a P(x) = 2x + 3 és a Q(x) = 5x² + x − 17/9. másodfokú függvényeket! Ezek ortogonálisak a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett. Szorzatuk 10x³ + 17x² − 7/9 x − 17/3 és:

$\begin{array}{cc}& \underset{-1}{\overset{1}{\int }}(10x^3+17x^2-\frac{7}{9}x-\frac{17}{3})dx=\\ & ={[\frac{5}{2}{x}^4+\frac{17}{3}{x}^3-\frac{7}{18}{x}^2-\frac{17}{3}x]}_{-1}^1=\\ & =(\frac{5}{2}(1{)}^4+\frac{17}{3}(1{)}^3-\frac{7}{18}(1{)}^2-\frac{17}{3}(1))-(\frac{5}{2}(-1{)}^4+\frac{17}{3}(-1{)}^3-\frac{7}{18}(-1{)}^2-\frac{17}{3}(-1))=\\ & =\frac{19}{9}-\frac{19}{9}=0.\end{array}$

Egy nem ortogonális bázis

Valós számok felett értelmezett legfeljebb n-ed fokú egyváltozós polinomok esetén természetesen adódó bázis az (1, x, x², x³, …, xⁿ) választás. Ezek a bázist alkotó polinomok azonban nagyon különböző szögeket zárnak be egymással. Könnyen ellenőrizhető ugyanis, hogy a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett

$|1|=\sqrt{2},|x|=0,|x^2|=\sqrt{\frac{2}{3}},|x^3|=0,|x^4|=\sqrt{\frac{2}{5}},|x^5|=0,\dots$

$⟨1,1⟩=2,⟨1,x⟩=0,⟨1,x^2⟩=\frac{2}{3},⟨1,x^3⟩=0,⟨1,x^4⟩=\frac{2}{5},⟨1,x^5⟩=0,\dots$

$⟨x,x⟩=\frac{2}{3},⟨x,x^2⟩=0,⟨x,x^3⟩=\frac{2}{5},⟨x,x^4⟩=0,⟨x,x^5⟩=\frac{2}{7},\dots$

$⟨x^2,x^2⟩=\frac{2}{5},⟨x^2,x^3⟩=0,⟨x^2,x^4⟩=\frac{2}{7},⟨x^2,x^5⟩=0,\dots$

Az 1 és az x² által bezárt szög

${\theta }_1=\arccos \left(\frac{⟨1,x^2⟩}{|1|\cdot |x^2|}\right)=\arccos \left(\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}\right)=\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right),$

az 1 és az x⁴ által bezárt szög

${\theta }_2=\arccos \left(\frac{⟨1,x^4⟩}{|1|\cdot |x^4|}\right)=\arccos \left(\frac{\frac{2}{5}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{5}}}\right)=\arccos \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right),$

az x² és az x⁴ által bezárt szög pedig

${\theta }_3=\arccos \left(\frac{⟨x^2,x^4⟩}{|x^2|\cdot |x^4|}\right)=\arccos \left(\frac{\frac{2}{7}}{\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{5}}}\right)=\arccos \left(\frac{\sqrt{15}}{7}\right).$

Belátható, hogy ha továbbmennénk ezzel a számolással, akkor az árkuszkoszinusz-függvény argumentumában mindig különféle 1-nél kisebb számok fognak szerepelni, tehát a bezárt szögek különféle 90°-nál kisebb hegyesszögek lesznek.

A fizikai alkalmazásokban külön gondot jelent a súlyfüggvény is: ilyenkor még ferdébb lehet a bázis, és nehéz lehet a szögek kiszámítása és a bázis használata. Megoldás lehetne ennek megfelelően súlyfüggvényt választani, de sokkal célszerűbb a bázist igazítani a súlyfüggvényhez.

Keressünk most olyan bázist, amelynek adott súlyfüggvény mellett minden eleme minden másikkal párban ortogonális!

Ortogonális bázisok

Legendre-féle polinomok

Sablon:Bővebben Természetes gondolat, hogy ha a fenti monomok ilyen hegyes szögeket zárnak be egymással, akkor ortogonalizálni (merőlegesíteni) kell őket.

P_n(x) (n = 1, 2, ...) Legendre-polinomokról akkor beszélünk, ha

• a skalárszorzat a következő: $⟨P_n(x),P_m(x)⟩:=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)P_m(x)\mathrm{d}x$ minden P_n és P_m párra, azaz az intervallum [-1,1], a súlyfüggvény pedig $\varrho (x)=1$, és
• a P_n polinomok páronként ortogonálisak egymással e skalárszorzat szerint, és
• minden P_n(x) esetében P_n(1) = 1.

Speciálisan ilyen polinomokat szolgáltat a Gram–Schmidt-féle ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása az $x^n(n\in \mathbb{N})$ monomokra.

Az első néhány Legendre-polinom:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával: $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)(n=1,2,\dots )$

A Legendre-polinomok fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.

Jacobi-féle polinomok

Sablon:Bővebben A Legendre-polinomoknál általánosabb Jacobi-féle polinomok kétparaméteres családot alkotnak. α és β választásától függően különböző ortogonális rendszerek adódnak.

• Jelölésük: P_n^(α,β)(x)
• Tartóintervallumuk: [-1, 1]
• Súlyfüggvény a skalárszorzatban: ρ(x) = (1–x)^α(1+x)^β

Ebbe a családba tartoznak a Legendre-polinomok is az α = β = 0 értékválasztással.

Különböző speciális eseteit használják, például a kvantumfizikában vagy az interpolációs eljárásokban.

Csebisev-féle polinomok

Sablon:Bővebben A Jacobi-féle polinomok egy alcsaládja az α=β=1/2 választással. Ekkor a súlyfüggvény :$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$, és a [-1,1] intervallumon teljesül:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

Az első néhány Csebisev-polinom:

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x.$

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:

$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$

vagy trigonometrikus függvények segítségével:

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)=\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x)$

Az interpolációs eljárásokban kitüntetett szerep jut a Csebisev-polinomok gyökeinek: ha a közelítendő függvényt itt értékelik ki, akkor az interpoláció hibája olyan kicsi lesz, amilyen kicsi csak lehet.

A rekurziós képlettel bizonyíthatók a következők:

• A páratlan fokú Csebisev-polinomok oszthatók x-szel
• A páratlan fokú Csebisev-polinomok páratlan, a páros fokúak csak páros kitevőjű tagokból állnak
• A páros fokúak konstans tagja +1 vagy -1
• A páros fokúak többi együtthatója páros
• T₁-től kezdve a főegyüttható 2 hatványa, mégpedig az n-ediké 2^n-1

Hermite-polinomok

Ha a polinomokra a teljes számegyenesen van szükség, de a távoli értékeket kevésbé akarják figyelembe venni, akkor az Hermite-polinomok megfelelő választásnak bizonyulhatnak. Itt a súlyfüggvény $\varrho (x)=e^{-x^2/2}$, és az intervallum a valós számok halmaza.

Ekkor a skalárszorzat $⟨f,g⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\cdot f(x)\cdot g(x)dx$. Eszerint az Hermite-polinomok ortogonálisak.

Az első néhány Hermite-polinom:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_2(x)=(2x{)}^2-2=4x^2-2$

$H_3(x)=(2x{)}^3-6(2x)=8x^3-12x$

$H_4(x)=(2x{)}^4-12(2x{)}^2+12=16x^4-48x^2+12$

Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával: $H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$

Az Hermite-polinomokat is alkalmazzák a fizikában, például a kvantummechanikában.

Források

• Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
• I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 Sablon:ISBN
• Milton Abramowitz - Irene Stegun: Abramowitz-Stegun|Pocketbook of Mathematical Functions
• Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
• Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
• Jegyzet a Schülerforschungszentrum Bad Saulgau -tól [1]