Peres–Horodecki-kritérium

A Peres–Horodecki-kritérium egy szükséges feltétel arra, hogy az A és B kvantummechanikai rendszerek közös $\rho$ sűrűségmátrixa szeparálható állapotú legyen. Nevezik még PPT kritériumnak is, ahol a PPT a pozitív-szemidefinit parciális transzponáltra utal. A 2×2 és a 2×3 dimenzióban a feltétel nem csak szükséges, hanem elégséges is. Magasabb dimenziókban a teszt inkonklúzív, és bonyolultabb tesztekkel kell kiegészíteni. Arra használják, hogy bizonyítsák, hogy egy kevert állapot összefonódott, más szavakkal nem szeparálható. Tiszta állapotok esetén erre a Schmidt-dekompozíció is alkalmazható.

Definíció

Ha a ${\mathscr{H}}_A\otimes {\mathscr{H}}_B$ Hilbert téren van egy $\rho$ általános állapotunk, amelyre

$\rho =\sum _{ijkl}{p}_{kl}^{ij}|i⟩⟨j|\otimes |k⟩⟨l|$,

akkor annak (B-szerinti) részleges transzponáltja a következő

${\rho }^{T_B}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}{p}_{kl}^{ij}|i⟩⟨j|\otimes (|k⟩⟨l|{)}^T=\sum _{ijkl}{p}_{kl}^{ij}|i⟩⟨j|\otimes |l⟩⟨k|=\sum _{ijkl}{p}_{lk}^{ij}|i⟩⟨j|\otimes |k⟩⟨l|$.

Meg kell jegyezni, hogy a névben szereplő részleges arra utal, hogy az állapotot csak az egyik részrendszer szerint transzponálták.

Ez a definíció jobban megérthető, ha az állapotot blokk-mátrixként írjuk:

$\rho =\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& & \\ ⋮& & \ddots & \\ A_{n1}& & & A_{nn}\end{array}\right),$

ahol $n=\dim {\mathscr{H}}_A$, és minden blokk egy $m=\dim {\mathscr{H}}_B$-dimenziójú négyzetes mátrix. A parciális transzponált ezek után a következő lesz:

${\rho }^{T_B}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}^T& A_{12}^T& \dots & A_{1n}^T\\ A_{21}^T& A_{22}^T& & \\ ⋮& & \ddots & \\ A_{n1}^T& & & A_{nn}^T\end{array}\right).$

A kritérium megállapítja, hogy ha $\rho$ szeparálható, akkor ${\rho }^{T_B}$ minden sajátértéke nem-negatív. Ezek alapján, ha ${\rho }^{T_B}$-nek van negatív sajátértéke, akkor a $\rho$ állapot összefonódott. Az összefüggés fordított irányban is igaz, ha a rendszer $2\times 2$ vagy $2\times 3$ méretű.

Nem számít, hogy melyik részrendszer szerint végezzük a parciális transzponálást, mivel ${\rho }^{T_A}=({\rho }^{T_B}{)}^T$.

Példa

Tekintsük a 2-qubites Werner-állapotokat:

$\rho =p|{\mathrm{\Psi }}^{-}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}^{-}|+(1-p)\frac{I}{4}.$

Egy ilyen kvantumállapot a $|{\mathrm{\Psi }}^{-}⟩$ és a maximálisan kevert állapot keveréke. A sűrűségmátrixa a következő:

$\rho =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}1-p& 0& 0& 0\\ 0& p+1& -2p& 0\\ 0& -2p& p+1& 0\\ 0& 0& 0& 1-p.\end{array}\right)$

A sűrűségmátrix parciális transzponáltja:

${\rho }^{T_B}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}1-p& 0& 0& -2p\\ 0& p+1& 0& 0\\ 0& 0& p+1& 0\\ -2p& 0& 0& 1-p.\end{array}\right)$

A parciális transzponált legkisebb sajátértéke $(1-3p)/4$. Így az állapot összefonódott, ha $1\ge p>1/3$.

Bizonyítás

Ha ρ szeparálható állapot, akkor felírható

$\rho =\sum p_i{\rho }_i^A\otimes {\rho }_i^B$

alakban. Ebben az esetben a parciális transzponálás hatása triviális:

${\rho }^{T_B}=I\otimes T(\rho )=\sum p_i{\rho }_i^A\otimes ({\rho }_i^B{)}^T.$

Mivel a transzponálás mint leképezés nem változtatja a sajátértékeket, a $({\rho }_i^B{)}^T$ spektruma ugyanaz, mint a ${\rho }_i^B$ spektruma, és a $({\rho }_i^B{)}^T$ pozitív-szemidefinit. Így ${\rho }^{T_B}$ is pozitív-szemidefinit kell legyen. Vagyis minden szeparálható állapot parciális transzponáltja pozitív-szemidefinit. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a PPT-kritérium szükséges feltétele a szeparabilitásnak.

Folytonos változójú kvantumrendszerek

A Peres–Horodecki-kritérimot kiterjesztették folytonos változójú kvantumrendszerekre. Simon a PPT kritérium olyan változatát mutatta be, amely a kanonikus változók második momentumaival van kifejezve. Azt is megmutatta, hogy ez szükséges és elégséges feltétel összefonódottságra két, Gauss-i állapotban levő módus esetén. Ref. egy ekvivalens módszert mutat be. Később azt találták , hogy a kritérium szükséges és elégséges, hogy összefonódottságot detektáljon egy kétrészű rendszerben, amelyben az egyik részrendszer egy módus, a másik egynél több módus, ha a rendszer Gauss-i állapotban van. Ezzel szemben, már nem szükséges és elégséges feltétel egy olyan kétrészű rendszerben, ahol mindkét részrendszer két módusból áll. A módszer általánosítható úgy, hogy a kanonikus változók magasabb mometumait is figyelembe vesszük vagy ha entropikus mértékeket használunk.

Szimmetrikus rendszerek

Szimmetrikus kétrészű rendszerek esetén a parciális transzponált pozitivitása bizonyos kéttest-korrelációk előjelével van kapcsolatban. Itt szimmetrián azt értjük, hogy a sűrűségmátrix kielégíti a

$\rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,$

egyenletet, ahol $F_{AB}$ a „flip” vagy „swap” operátor, amely megcseréli az $A$ és $B$ állapotát.

Megmutatható, hogy ilyen állapotokra $\rho$ parciális transzponáltja akkor és csak akkor pozitív, ha

$⟨M\otimes M{⟩}_{\rho }\ge 0$

minden $M$ operátorra igaz. Így, ha $⟨M\otimes M{⟩}_{\rho }<0$ igaz valamilyen $M$-re, akkor az állapot összefonódott és nem PPT.

Források

• Asher Peres, Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett. 77, 1413–1415 (1996)
• Sablon:Cite journal