Kvantum-összefonódás

A kvantum-összefonódás az a jelenség a kvantummechanikában, amikor két objektum kvantumállapota között összefüggés van olyan értelemben, hogy a teljes rendszer kvantumállapotát nem lehet a részrendszerek kvantumállapotának megadásával leírni. Összefonódás fennállhat egymástól térben távol eső objektumok között is.

Tiszta állapotok

Tiszta állapotok esetén az összefonódás azt jelenti, hogy a rendszer nem szorzatállapotban van, vagyis állapotvektora nem írható le a részrendszerek állapotvektorainak a szorzataként.

Tekintsünk példaként egy két, A és B kétállapotú rendszerekből álló összetett rendszert. A rendszerek két-két lehetséges tiszta állapotát jelölje $|0{⟩}_A$, $|1{⟩}_A$, $|0{⟩}_B$ és $|1{⟩}_B$.

Szeparálható- vagy szorzatállapot például a

$|{\mathrm{\Psi }}_1⟩=|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B$

állapot. Ez azt az állapotot jelöli, amikor az A rendszer $|0{⟩}_A$, a B rendszer $|1{⟩}_B$ állapotban van. Ebben az állapotban az összefonódás mértéke 0.

A következő állapot azonban összefonódott:

$|{\mathrm{\Psi }}_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B+|1{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B).$

Ez az állapot nem áll elő két, A és B beli,

$|{\mathrm{\Psi }}_a⟩=a_0|0{⟩}_A+a_1|1{⟩}_A$

$|{\mathrm{\Psi }}_b⟩=b_0|0{⟩}_B+b_1|1{⟩}_B$

alakú állapotok szorzataként. Valóban, ezek szorzata

$|{\mathrm{\Psi }}_a⟩\otimes |{\mathrm{\Psi }}_b⟩=(a_0|0{⟩}_A+a_1|1{⟩}_A)\otimes (b_0|0{⟩}_B+b_1|1{⟩}_B)=$

$=a_0{b}_0|0{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B+a_0{b}_1|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B+a_1{b}_0|1{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B+a_1{b}_1|1{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B.$

Mivel ez a 4 szorzatállapot, $|0{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B$, $|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B$, $|1{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B$ és $|1{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B$ bázist alkot a két rendszert leíró 4 dimenziós Hilbert-térben, az együtthatókra fennáll az

$a_0{b}_0=0$

$a_0{b}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$a_1{b}_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$a_1{b}_1=0$

egyenletrendszer, amelynek nincsen megoldása.

Kevert állapotok

Kevert állapotok esetén a rendszer összefonódott, ha nem szeparálható, azaz ha sűrűségmátrixa nem írható le szorzatállapotok keverékeként

$\rho =\sum _k{p}_k{\rho }_k^{(1)}\otimes {\rho }_k^{(2)}$

ahol

$\sum _k{p}_k=1,$

és $p_k\ge 0$. Itt $\rho$ a teljes rendszer sűrűségmátrixa, míg ${\rho }_k^{(1)}$ és ${\rho }_k^{(2)}$ az első, illetve a második részrendszerhez tartozó sűrűségmátrixok.

A maximálisan kevert állapotot szokás teljesen kevert állapotnak is hívni. Sűrűségmátrixa:

$\rho =I/d$,

ahol $I$ az egységmátrix és $d$ a rendszer dimenziója. Erre az állapotra, minden operátor várható értéke a mátrix nyomával arányos

$⟨A⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(A)/d$.

A maximálisan kevert állapot tisztasága minimális

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\rho }^2)=1/d.$

Ennek megfelelően a lineáris entrópiája maximális

$S_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\rho )=1-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\rho }^2)=(d-1)/d.$

A maximálisan kevert állapot Neumann-entrópiája is maximális

$S(\rho )=-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\rho \log \rho )=\log d.$

Alkalmazása

A kvantum-összefonódás a kvantuminformatika egyik alapvető fogalma. Mint erőforrás lehetővé teszi, hogy kvantuminformatikai algoritmusok (például kvantumteleportáció) nagyobb hatékonysággal működjenek, mintha összefonódás nem állna rendelkezésre. Másrészt annak eldöntése, hogy egy kvantumállapot szeparálható-e vagy összefonódott, fontos elméleti probléma, amivel az utóbbi évtizedben számos tudományos közlemény foglalkozik.

Irodalom

• M.A. Nielsen, I.L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press; első kiadás (2000. szeptember)