Pareto-eloszlás

A Pareto-eloszlás folytonos, félig végtelen intervallumú eloszlás [0,∞), mely számos szociális, tudományos, geofizikai és biztosítási területen alkalmazható, illetve jellemző az ezeken a területeken tapasztalt jelenségekre. A közgazdaságtan területén kívül időnként Bradford-eloszlásnak nevezik. A Pareto-eloszlás Vilfredo Pareto (1848 – 1923) olasz mérnök, szociológus, közgazdász és filozófusról kapta a nevét.

Alkalmazása

Pareto eredetileg ezt az eloszlást egy társadalmi jelenségre alkalmazta.

Pareto azt állította, hogy a megtermelt javak közel 80%-a a társadalom 20%-ához kerül a társadalomra jellemző vagyonelosztás során.

Az elméletét a keresetek eloszlására is alkalmazta.

Ezt az elképzelést egyszerűbben az úgynevezett Pareto-elv fejezi ki, vagy más néven a “80-20-as szabály”,mely azt mondja, hogy a lakosság 20%-a befolyásolja a népesség 80%-nak a vagyonát. Megjegyzendő, hogy a 80-20-as szabály csak bizonyos α értékek mellett érvényes. A korabeli angol adatok szerint a lakosság 30%-a rendelkezik a bevételek 70%-val. A valószínűség sűrűségfüggvényen látható, hogy a lakosság tört része, mely személyre vetítve birtokolja a vagyon kis részét, illetve ennek nagy a valószínűsége, majd egyenletesen csökken, ahogy a vagyon nő. (meg kell jegyezni, hogy a Pareto-eloszlás nem nyújt teljesen reális képet az alsó végen).

Az eloszlás nem korlátozódik csak a lakosság vagyoni eloszlására, a következő esetekben is közelítően alkalmazható a Pareto-eloszlás:

• Települések eloszlása (kevés város, sok falu/kis település) )
• Internet forgalom eloszlása (sok kicsi fájl, kevesebb nagy fájl)
• Merevlemezek hibarátája
• Bose-Einstein-féle sűrűsödés az abszolút zéró közelében
• Olajmezők eloszlása
• Meteoritok mérete
• Homokszemcsék mérete
• Erdőtüzek eloszlása
• Meteorológiában:az évenkénti árvizek és nagy csapadékok eloszlása/valószínűsége

Meghatározás

Valószínűségsűrűség-eloszlás

Kumulatív eloszlás függvény

Ha X a Pareto-eloszlás (I. Tip) valószínűségi változója, akkor annak valószínűsége, hogy X nagyobb, mint x, azaz a túlélési függvény (farok függvénynek is hívják):

$\bar{F}(x)=\mathrm{Pr}(X>x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& \text{for }x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 1& \text{for }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

ahol x_m a minimálisan lehetséges (pozitív) értéke X-nek, és α egy pozitív paraméter. Az I. típusú Pareto-eloszlást a x_m skálaparaméter, és a α paraméter jellemzi, mely farok indexként is ismert. Abban az esetben, amikor a Pareto-eloszlást a gazdagság eloszlására használják, akkor az α paramétert Pareto-indexnek hívják.

Tulajdonságok

Kumulatív eloszlás függvény

A Pareto-eloszlás kumulatív eloszlás függvénye α és x_m paraméterekkel:

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}1-{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& \text{for }x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 0& \text{for }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Ha lineáris koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor az eloszlás az ismerős J alakú görbét mutatja, mely aszimptotikusan közelít mindkét végén. Log-log koordináta-rendszerben ábrázolva egyenes vonal adódik.

Valószínűségsűrűség-függvény

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& \text{for }x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 0& \text{for }x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Momentum és a karakterisztikus függvény

A Pareto-eloszlást követő valószínűségi változó várható értéke:

$E(X)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \text{if }\alpha \le 1\\ \frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}& \text{if }\alpha >1\end{array}.$

A szórásnégyzet:

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \text{if }\alpha \in (1,2]\\ {\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}\right)}^2\frac{\alpha }{\alpha -2}& \text{if }\alpha >2\end{array}.$

(Ha $\alpha \le 1$, a szórásnégyzet nem létezik). A momentum:

${{\mu }_n}^{\prime }=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \text{if }\alpha \le n\\ \frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n}& \text{if }\alpha >n\end{array}.$

A momentum generáló függvény csak nem pozitív értékekre definiálható (t≤0 ):

$M(t,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)\text{ and }M(0,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=1.$

A karakterisztikus függvény:

$\phi (t;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\alpha (-i{x}_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-i{x}_{\mathrm{m}}t),$

ahol Γ(a, x) az inkomplett gamma függvény.

Geometrikus várható érték

A geometrikus várható érték (G):

$G=x_m\exp (1/\alpha )$

Harmonikus várható érték

A harmonikus várható érték (H):

$H=x_m(1+\frac{1}{\alpha })$

Kapcsolat más eloszlásokkal

Exponenciális eloszlás

A Pareto-eloszlás a következő módon kapcsolódik az exponenciális eloszláshoz: Ha X is Pareto-eloszlású minimum x_m és index α, paraméterekkel, akkor:

$Y=\log \left(\frac{X}{x_{\mathrm{m}}}\right)$

akkor exponenciális eloszlású α intenzitással.

Hasonlóan, ha Y exponenciális eloszlású α intenzitással, akkor

$x_{\mathrm{m}}{e}^Y$

Pareto-eloszlású, minimum x_m és index α paraméterekkel.

Lognormális eloszlás

A Pareto-eloszlás és a log-normális eloszlás egymásnak alternatív eloszlásai a hasonló tipusú mennyiségek esetén. A kettő közötti kapcsolatra jellemző, hogy mindkét esetben a változók eloszlása exponenciális, más paraméterek mellett.

Zipf-eloszlás

Míg a Pareto-eloszlás folytonos eloszlás, a Zipf-eloszlást szokták Zéta-eloszlásnak is hívni, és a Pareto-eloszlás diszkrét változatának.

Szimmetrikus Pareto-eloszlás

A szimmetrikus Pareto-eloszlást a sűrűség függvénnyel definiálhatjuk:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\{\begin{array}{cc}(\alpha x_{\mathrm{m}}^{\alpha }/2)|x{|}^{-\alpha -1}& \text{for }|x|>x_{\mathrm{m}}\\ 0& \text{egyébként}.\end{array}$

A Pareto-eloszlással hasonló formája van $x>x_{\mathrm{m}}$ esetben, és az y tengelyre tükörszimmetrikus.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Zipf-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Theil-index

További információk

• A Pareto-eloszlás a MathWorld-ön
• Sablon:Wayback Bevezetés
• Online könyv
• Online könyvek
• Online kalkulátor Pareto-eloszlás