Ortonormált rendszer

A lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben egy ortogonális rendszer skalárszorzatos vektortérben értelmezhető. Vektorok egy halmaza ortogonális rendszer, ha páronkénti skalárszorzatuk nulla. Ha ehhez még a rendszerben minden vektor normája egy, akkor a rendszer ortonormált.

Definíció

Egy $V$ skalárszorzatos vektortér egy $M$ részhalmaza ortogonális rendszer, ha:

• $M$-ben bármely két különböző vektor ortogonális egymásra: $\mathrm{\forall }v,w\in M:v\ne w\Rightarrow ⟨v,w⟩=0$
• A halmaz nem tartalmazza a nullvektort.

Itt $⟨v,w⟩$ a $V$ téren értelmezett skalárszorzat.

Továbbá, ha $M$-ben minden vektor normált, vagyis $\mathrm{\forall }v\in M:⟨v,v⟩=1$, akkor $M$ ortonormált rendszer.

Tulajdonságok

• Az ortogonális rendszerek lineárisan függetlenek.
• Szeparábilis Hilbert-terekben, például véges dimenziós Hilbert-terekben a Gram–Schmidt ortogonalizációval minden lineárisan független rendszerből ortogonális rendszer, ebből normálással ortonormált rendszer kapható. Ugyanezzel az eljárással Schauder-bázisból ortogonális bázis, illetve ortonormált bázis kapható.
• Egy $M$ ortonormált rendszerre teljesül a Bessel-egyenlőtlenség:

  $\sum _{e\in M}|⟨x,e⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2\mathrm{\forall }x\in V.$

• Minden $x\in V$ esetén legfeljebb megszámlálható sok $e\in M$ van, amire $⟨x,e⟩\ne 0$.

Példák

• ${ℝ}^n$ a standard skalárszorzattal: a standard bázis ortonormált rendszer.
• $L^2([0,2\pi ])$-ben a $(a,b)\mapsto \underset{0}{\overset{1}{\int }}ab$ a $\cos (kx)$ függvények ortogonális rendszert alkotnak.
• ${\ell }^2$ a $(a,b)\mapsto \sum a_n{b}_n$ skalárszorzattal: az $(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )$ sorozatok ortogonális rendszert alkotnak.
• A legfeljebb ötödfokú polinomok ${𝒫}^5([0,1])$ terében az $(a,b)\mapsto \underset{0}{\overset{1}{\int }}ab$ skalárszorzattal: az $x\mapsto 1$ és $x\mapsto x-\frac{1}{2}$ függvények ortogonális rendszert alkotnak.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, Sablon:ISBN. ( „Erzeugendensystem“ fejezet, véges dimenziókra)
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, Sablon:ISBN. Kapitel V.3 (végtelen dimenzióra, a példák bizonyításokkal)