Negatív binomiális eloszlás

Az X valószínűségi változó r rendű és p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben negatív binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha

$𝐏(X=r+k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k,k=0,1,2,...,$

ahol 0 < p ≤ 1.

Azt, hogy az X valószínűségi változó r rendű p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ, néha következő módon jelölik: X ∼ NB(r,q) ahol q = 1 – p.

Speciálisan, ha X ∼ NB(1,q), akkor X-et geometriai eloszlásúnak nevezzük.

A binomiális eloszlású valószínűségi változóval az a véletlen esemény ragadható meg, amikor visszatevéses mintavétel mellett addig ismételjük a mintavételt, amíg r-szer tapasztalunk egy előre meghatározott eredményt. A binomiális eloszlású valószínűségi változó azt mutatja meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy pont k-szor kell megismételni a mintavételt ahhoz, hogy r-szer forduljon elő a meghatározott eredmény.

A negatív binomiális eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)={\left(\frac{p}{1-(1-p)e^{it}}\right)}^r$

Generátorfüggvénye

$G(z)={\left(\frac{p}{1-(1-p)z}\right)}^r$

A negatív binomiális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$𝐄(X)=\frac{r}{p}$

Szórása

$𝐃(X)=\frac{\sqrt{r(1-p)}}{p}$

Momentumai

Ferdesége

${\beta }_1(X)=\frac{2-p}{\sqrt{r(1-p)}}$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=\frac{1+4(1-p)+(1-p{)}^2}{r(1-p)}$

Negatív binomiális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Negatív binomiális eloszlású független valószínűségi változók összege is negatív binomiális eloszlású – ha azonos a p paraméterük. Pontosabban ha X₁ ∼ NB(r₁, 1 – p) és X₂ ∼ NB(r₂, 1 – p) független valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ ∼ NB(r₁ + r₂, 1 – p).

Források

• Arató M. (2001): Nem-élet biztosítási matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.