Landau-problémák

Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők:

1. Goldbach-sejtés: Felírható-e minden 2-nél nagyobb egész szám két prímszám összegeként?
2. Ikerprím-sejtés: Létezik-e végtelen sok p prím, melyre p + 2 is prímszám?
3. Legendre-sejtés: Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között?
4. Létezik-e végtelen sok p prímszám, melyre p − 1 négyzetszám? Másként fogalmazva: létezik-e végtelen sok n² + 1 alakú prímszám? Sablon:OEIS.

Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.

A megoldás felé vezető lépések

Goldbach-sejtés

A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.

A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re $2n=p+q$, ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.

Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát, mely szerint minden $e^{e^{36}}\approx 1,7\cdot 10^{1872344071119348}$ páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.

Ikerprím-sejtés

Yitang Zhang megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani. Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard, valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.

Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.

Legendre-sejtés

Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint $2\sqrt{p}$. A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 10¹⁸-ig. Egy 10¹⁸ körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb $x^{1/6}$ olyan kivételes prím létezik, melyeket $\sqrt{2p}$-nál nagyobb hézag követ; formálisan:

$\sum _{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}{p}_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.$

Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám $n^3$ és $(n+1{)}^3$ között.

Csaknem négyzetszám prímek

Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok $x^2+y^4$. alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok $n^2+1$ alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek).

Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy $O(\sqrt{x}/\log x)$ ilyen prímszám létezik x-ig.

További információk

• Sablon:MathWorld