Friedlander–Iwaniec-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Friedlander–Iwaniec-tétel (vagy Bombieri–Friedlander–Iwaniec-tétel) állítása szerint végtelen sok olyan prímszám létezik, mely az $a^2+b^4$ alakban felírható. Az első néhány ilyen prím:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … Sablon:OEIS.

Az állítás igazolásának nehézsége a sorozat viszonylagos ritkaságában áll: az $X$-nél kisebb, $a^2+b^4$ alakú számok számossága az $O((10^k{)}^{3/4})$ nagyságrendbe esik. Jelenleg ez a legritkább polinom, amire sikerült igazolni, hogy végtelen sok prímet tartalmaz.

Történet

A tételt 1997-ben John Friedlander és Henryk Iwaniec bizonyította. Szitatechnikákat használták, Enrico Bombieri aszimptotikus szitáját használva. A Friedlander–Iwaniec-tétel a Yitang Zhang-féle PolyMath8 kollaboratív projekt, a prímszámhézagokat pontosítani szándékozó Bounded gaps between primes két kulcseredménye közül az egyik (a másik Goldston–Pintz–Yıldırım 2005-ös eredménye volt).

Iwaniec 2001-ben részben ezen munkához való hozzájárulásával nyerte el az Ostrowski Prize-t.

Heath-Brown később hasonló jellegű eredményt ért el az $a^3+2b^3$ alakú prímek tekintetében.

Speciális eset

Ha Sablon:Math, a Friedlander–Iwaniec-prímek $a^2+1$ alakot öltenek, ebbe a halmazba pl. a következő számok tartoznak:

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … Sablon:OEIS.

Létezik olyan sejtés (egyike Landau problémáinak) hogy ez a halmaz végtelen. Ez azonban nem következik a Friedlander–Iwaniec-tételből (fordítva, ebből következne a Friedlander–Iwaniec-tétel), és nem bizonyított.

Irodalom

• Sablon:Citation.

További információk

• J. Friedlander, H. Iwaniec, Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial, PNAS 1997 94:1054-1058
• D.R. Heath-Brown, Primes represented by x3 +2y3; Acta Mathematica, 186 (2001), 1-84.
• B. Z. Moroz, On the representation of primes by polynomials (a survey of some recent results), Proceedings of the Mathematical Institute of the Belarussian Academy of Sciences, 13 (2005), no. 1, pp. 114-119.