Középpontos köbszámok

35 pontból álló tércentrált köbös rács, ami két kocka-réteget formál egy középponti helyzetű pont körül.

A számelméletben a középpontos köbszámok olyan középpontos poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy gömb van, és azt sűrűn pakolt gömbökből összeálló, kocka alakú gömbrétegek veszik körül. A középpontos köbszámok az így összeálló kockákban részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik középpontos köbszám $K{k}_n$ a következő képlettel állítható elő:

$K{k}_n=n^3+(n+1{)}^3=(2n+1)(n^2+n+1).$

Az első néhány középpontos köbszám:

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, 10745, 12691, 14859, 17261, 19909, 22815, 25991, 29449, 33201, 37259, 41635, 46341, 51389, 56791, 62559, 68705, 75241, 82179, 89531, 97309, 105525, … Sablon:OEIS

Tulajdonságai, alkalmazásai

A középpontos köbszámok generátorfüggvénye:

$\frac{(1+z)(1+4z+z^2)}{(z-1{)}^4}.$

Mivel a középpontos köbszámok felbontása $(2n+1)(n^2+n+1)$, ezért egy középpontos köbszám sem lehet prímszám. Az egyetlen középpontos köbszám, ami egyben négyzetszám, a 9.

Kapcsolata más figurális számokkal

A $K{k}_n$ középpontos köbszám kifejezhető négyzetes piramisszámokkal a következőképpen:

$K{k}_n=P_n+4P_{n-1}+P_{n-2}$

Kifejezhető továbbá két háromszögszám különbségeként (trapézszámként) vagy egymást követő számok összegeként:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n+1{)}^2+1}{2})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n^2+1}{2})=(n^2+1)+(n^2+2)+\cdots +(n+1{)}^2.$

További információk

• Sablon:Mathworld

Kapcsolódó szócikkek

• Köbszámok

Jegyzetek

• Sablon:Cite book