Jacobi-mátrix

A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix, mely az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben is megjelenik.

Definíció

Legyen $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező differenciálható függvény. (Ha n = m, akkor f egy vektormezőt határoz meg.) Ekkor a vektorértékű $f:𝐱\mapsto 𝐲$ függvény egyes komponensei:

$f:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)$,

azaz

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n),f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n))$,

ahol f₁, f₂, ... , f_m koordinátafüggvények skalár-értékű n-változós függvények, azaz $f_i:{ℝ}^n\to ℝ$ (i = 1, 2, ..., m).

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:

$J=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$.

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak, melynek elemei maguk is skalár-értékű n-változós függvények.

Felírható még úgy is, hogy

$J=\left(\begin{array}{c}\mathrm{grad}{f}_1\\ ⋮\\ \mathrm{grad}{f}_m\end{array}\right)$,

ahol grad(.) a gradiensfüggvény.

Továbbá J egy ${ℝ}^n\to {ℝ}^{m\times n}$ függvény mátrixos felírása: $𝐚\mapsto J(𝐚)$, ahol J(a) egy konkrét számokat tartalmazó m×n-es mátrix lesz, ha egy adott a = (a₁, a₂, ... , a_n) ${ℝ}^n$-beli pont koordinátáit behelyettesítjük J minden egyes (i, j) pozícióban lévő $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ parciális deriváltfüggvényébe:

$J(𝐚):={(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(𝐚))}_{i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(𝐚)& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(𝐚)& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(𝐚)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(𝐚)& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(𝐚)& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(𝐚)\end{array}\right)$.

A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.

Alkalmazása

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$ pont körül abban az értelemben, hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

$f(𝐱)\approx f({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})+J({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})(𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$.

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény, mennyire simul rá f(x₀)-ban a képhalmazát érintő hipersíkra.

A Jacobi-mátrix megjelenik az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben.

Példa

Legyen $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ a $f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+y^2+z\cdot \sin (x)\\ z^2+z\cdot \sin (y)\end{array}\right)$

képlettel megadott háromváltozós függvény.

Akkor

$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}2x+z\cdot \cos (x)\\ 0\end{array}\right),$

$\frac{\partial }{\partial y}f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}2y\\ z\cdot \cos (y)\end{array}\right),$

$\frac{\partial }{\partial z}f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\sin (x)\\ 2z+\sin (y)\end{array}\right)$

és így a függvény Jacobi-mátrixa

$Df(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos (x)& 2y& \sin (x)\\ 0& z\cdot \cos (y)& 2z+\sin (y)\end{array}\right)$

Megjegyzés

Ha az összes f₁, f₂, ... , f_m koordinátafüggvény lineáris, akkor J-ben az összes parciális derivált konstans, J egy közönséges mátrix, J(a) pedig nem függ a-tól.

Lásd még

• Hesse-mátrix