Hullámfüggvény

A hullámfüggvény egy kvantummechanikai állapot (azaz kvantumállapot) jellemzésére alkalmazható matematikai eszköz. Bár a klasszikus mechanikai hullámegyenlet egy megoldásaként előálló hullámfüggvény analógiájára hozták létre, a kvantummechanikában némiképp más értelemmel bír: a kvantummechanikai hullámfüggvény egy igen kiterjedt módon alkalmazott általános matematikai formalizmus egy alapvető matematikai objektuma.

Definíció

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

• komplex vektor véges számú komponenssel (például Heisenberg-kép)

$\overrightarrow{\psi }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$,

• komplex vektor végtelen sok komponenssel

$\overrightarrow{\psi }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\\ ⋮\end{array}\right]$,

• egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)

$\psi (x_1,\dots x_n)$.

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióban

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex $\psi (x)$ függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény $|\psi {|}^2$ abszolútérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az $[a,b]$ intervallumba eső eredményt ad:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx=1$.

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióban

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex $\psi (x,y,z)$ függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az $R$ térfogatban találjuk:

$\underset{R}{\int }|\psi (x){|}^{2}dV$.

A normálási feltétel hasonló:

$\int |\psi (x){|}^{2}dV=1$,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

$\psi (x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)$,

és $|\psi {|}^2$ a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

$\underset{R}{\int }\underset{S}{\int }|\psi {|}^{2}d{V}_{2}d{V}_1$,

ahol $d{V}_1=d{x}_{1}d{y}_{1}d{z}_1$, $d{V}_2$ is hasonló. A normálási feltétel ezért:

$\int \int |{\psi }^2|d{V}_{2}d{V}_1=1$,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérben

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex $\psi (p)$ függvény. A $|\psi {|}^2$ mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a $[a,b]$ intervallumba eső eredményre vezet:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\psi (p){|}^{2}dp$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (p){|}^{2}dp=1$,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spin

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

$\overrightarrow{\psi }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan $c_1$ és $c_2$ a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a $z$ térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

$|\psi ⟩=c_1|{\uparrow }_z⟩+c_2|{\downarrow }_z⟩$

A $|c_1{|}^2$ ill. $|c_2{|}^2$ értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

$|c_1{|}^2+|c_2{|}^2=1$.

Interpretáció (vektor)

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük $|\psi ⟩$-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek $|{\varphi }_i⟩$. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorok

A hullámfüggvény, ami egy $\overrightarrow{\psi }$ vektor $n$ komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer $|\psi ⟩$ állapotát a végesen sok $|{\varphi }_i⟩$ bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol $i$ $1$-től $n$-ig fut. A

$\overrightarrow{\psi }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$,

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

$|\psi ⟩=\sum _{i=1}^n{c}_i|{\varphi }_i⟩$,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

$\overrightarrow{\psi }$ komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a $|{\varphi }_i⟩$ állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|{\varphi }_i⟩$

állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül ${\lambda }_i$-t kapjunk, $|c_i{|}^2$, és ha eredményünk ${\lambda }_i$, akkor a mérés után a rendszer a $|{\varphi }_i⟩$ állapotban lesz.

Végtelen vektorok

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

$\overrightarrow{\psi }=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\\ ⋮\end{array}\right]$

ekvivalens a következővel:

$|\psi ⟩=\sum _i{c}_i|{\psi }_i⟩$,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed $\overrightarrow{\psi }$ minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske $|\psi ⟩$ fizikai állapotát a határozott helyzetű $|x⟩$ állapotokon fejti ki. Ezért

$|\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\psi (x)|x⟩dx$.

Vegyük észre, hogy $|\psi ⟩$ nem azonos $\psi (x)$-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

$|x_0⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-x_0)|x⟩dx$

és ezért az $|x_0⟩$-hoz rendelt térhullámfüggvény $\delta (x-x_0)$ (Dirac-delta).

Formalizmus

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy $H$ vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha $|\psi ⟩$ és $|\varphi ⟩$ két megengedett állapot, akkor

$a|\psi ⟩+b|\varphi ⟩$

szintén megengedett állapot feltéve, hogy $|a{|}^2+|b{|}^2=1$. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a $H$ vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

$\{|{\uparrow }_z⟩,|{\downarrow }_z⟩\}$

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

$a|{\uparrow }_z⟩+b|{\downarrow }_z⟩$.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy $H$ térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni $H$-t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok $\{|{\varphi }_i⟩\}$ báziselemünk van, amelyik mind $H$-hoz tartoznak, akkor $H$ egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

$⟨{\varphi }_i|{\varphi }_j⟩={\delta }_{ij}.$

Ha ez a helyzet, akkor $|{\varphi }_i⟩$ belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

$⟨{\varphi }_i|\sum _j{c}_j|{\varphi }_j⟩=c_i$.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú $\{|x⟩\}$ állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

$⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$

azaz érvényes az analóg

$⟨x|\int \psi (x^{\prime })|x^{\prime }⟩d{x}^{\prime }=\int \psi (x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })d{x}^{\prime }=\psi (x)$.

összefüggés.

További információk

• A relativtáselmélet alapfogalmai, a hullámfüggvény és a megfigyelés a kvantummechanikában - közérthető írás a hullámfüggvényről