Gompertz-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).

Tulajdonságok

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

$f(x;\eta ,b)=b\eta e^{bx}{e}^{\eta }\exp (-\eta e^{bx})\text{for }x\ge 0,$

ahol $b>0$ a skálaparaméter, és $\eta >0$ az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvény

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

$F(x;\eta ,b)=1-\exp (-\eta (e^{bx}-1)),$

ahol $\eta ,b>0,$ és $x\ge 0.$

Momentumgeneráló függvény

$\text{E}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)$

ahol

${\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\eta v}{v}^{-t/b}dv,t>0.$

A függvény alakja

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter ($\eta$) értékétől függően:

• Ha $\eta \ge 1,$, a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
• Ha $0<\eta <1,$ a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa

$x^{*}=(1/b)\ln (1/\eta )\text{with }0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0,632121$

Kapcsolódó eloszlások

• Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
• A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert $b.$ skálaparaméterrel.
• Amikor $\eta$ a gamma-eloszlás szerint változik, $\alpha$ alakparaméterrel, és $\beta$ skálaparaméterrel, akkor az $x$ eloszlása Gamma/Gompertz.

Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény

Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Gompertz-függvény
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény