Gompertz-függvény

A Gompertz-függvény, vagy Gompertz-görbe egy szigmoid függvény. A függvényt Benjamin Gompertz (1779–1865), brit matematikusról nevezték el. A Gompertz-függvény egy matematikai modell, olyan időben zajló folyamatokra, ahol a folyamat kezdete és a vége lassú lecsengésű. A görbe jobb oldali, jövőbeli alakulása jóval fokozatosabb, mint a bal oldali, kezdeti szakaszé, szemben a logisztikai-függvénnyel, mely szintén egy szigmoid függvény, és ahol a görbe aszimptotái szimmetrikusak.

Az ábrákon három Gompertz-görbe látható, ahol az egyik változót megváltoztatják, míg a többi konstans változatlan.

Gompertz-görbe, a változat

Gompertz-görbe, b változat

Gompertz-görbe, c változat

Képlet

$y(t)=a{e}^{b{e}^{ct}}$

ahol

• a a felső aszimptota, mivel $a{e}^{b{e}^{-\mathrm{\infty }}}=a{e}^0=a$
• b, c negatív számok
• b beállítja az x eltolást
• c beállítja a növekedési rátát (x skálázása)
• e Euler-féle szám (e = 2,71828...)

A Gompertz-függvény a Gompertz-féle mortalitási törvényből eredeztethető, mely azt állítja, hogy a mortalitás (elmúlás, hanyatlás) exponenciálisan viselkedik. Matematikai függvénnyel kifejezve:

$k^r\propto \frac{1}{y(t)}$

ahol

• $r=\frac{y^{\prime }(t)}{y(t)}$ a növekedési ráta.
• k egy tetszőleges konstans

Példák

Néhány példa a Gompertz-függvény alkalmazására:

• Behatárolt populáció esetén, ahol a születési arányok a kezdetben nőnek, majd lelassulnak, ahogy a források elérnek egy korlátot
• Tumorok növekedésének modellezése
• Mobil telefonok használatánál, ahol a költségek a kezdetben magasak (a használatba vétel lassú), és ezt követi egy gyors növekedés, majd lassul a használat, és eléri a telítődést.

Tumorok növekedése és a Gompertz-függvény

A 60-as években A.K. Laird használta először a Gompertz-függvényt tumorok növekedésének vizsgálatánál. A tumorok behatárolt területeken növekvő sejtpopulációk, ahol a tápanyag korlátozott. Legyen X(t) a tumor mérete, fel lehet írni a következő Gompertz-függvényt:

$X(t)=K\exp (\log \left(\frac{X(0)}{K}\right)\exp (-\alpha t))$

ahol

• X(0) a tumor mérete a megfigyelés kezdetén;
• K a szállító kapacitás, azaz az elérhető maximális méret a rendelkezésre álló tápanyag mellett.

Ekkor:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }X(t)=K$

függetlenül ettől: X(0)>0. Megjegyezzük, hogy terápia hiányában az X(0)<K, miközben terápia mellett, X(0)>K lehet;

• α egy konstans, mely a sejtek burjánzási képességével kapcsolatos
• log( ) a természetes logaritmust jelenti

A Gompertz-függvény differenciálásakor, könnyű látni az X(t) dinamikáját:

$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left(\frac{K}{X(t)}\right)X(t)$

azaz:

$X^{\prime }(t)=F(X(t))X(t),F^{\prime }(X)\le 0$

ahol F(X) a pillanatnyi sejt burjánzási arány, melynek csökkenő természete a tápanyagért folyó versennyel kapcsolatos, ahogy a populáció nő, hasonlóan a logisztikai növekedési arányhoz. Azonban van egy alapvető különbség: logisztikai esetben, kis sejt populációkra a burjánzási sebesség véges:

$F(X)=\alpha (1-{\left(\frac{X}{K}\right)}^{\nu })\Rightarrow F(0)=\alpha <+\mathrm{\infty }$

míg, a Gompertz esetben a burjánzás korlátok nélküli:

$\underset{X\to 0^{+}}{\lim }F(X)=\underset{X\to 0^{+}}{\lim }\alpha \log \left(\frac{K}{X}\right)=+\mathrm{\infty }$

Steel és Wheldon megállapítja, hogy a sejtburjánzási sebesség egy populációban korlátozva van a sejtosztódási idő által. Ily módon ez egy bizonyíték lehet arra, hogy a Gompertz-függvény nem jó modell kis tumorok esetében. Mindezen túl megállapították, hogy az immunrendszert is figyelembe véve, Gompertz- és más törvények, melyekre a korlátlanság F(0) jellemző, kizárhatják az immunrendszer működésének a lehetőségét.

Gompertz-, és a logisztikai növekedés

A Gompertz differenciális egyenlet:

$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left(\frac{K}{X(t)}\right)X(t)$

ez az általános logisztikai függvény korlátozott esete

$X^{\prime }(t)=\alpha \nu (1-{\left(\frac{X(t)}{K}\right)}^{\frac{1}{\nu }})X(t)$

ahol $\nu >0$ egy pozitív valós szám ezért:

$\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\nu (1-x^{1/\nu })=-\log \left(x\right)$.

Ráadásul, az általános logisztikai függvény görbéjén van egy inflekciós pont, amikor

$X(t)={\left(\frac{\nu }{\nu +1}\right)}^{\nu }K$

és egy a Gompertz-függvényen, amikor

$X(t)=\frac{K}{e}=K\cdot \underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{\nu }{\nu +1}\right)}^{\nu }$.

A növekedés Gomp-ex törvénye

A fenti megállapításokra alapozva Wheldon javasolt egy matematikai modellt a tumorok növekedésére, melyet Gomp-Ex modellnek nevezett el, kissé különbözik a Gormpertz-törvénytől. A Gomp-Ex modell feltételezi, hogy a kezdetben nincs verseny a forrásokért, így a sejt populációk az exponenciális törvény szerint viselkednek. Azonban van egy kritikus határérték $X_C$, $X>X_C$-re, ahol a növekedés a Gompertz-törvény szerint zajlik:

$F(X)=\max (a,\alpha \log \left(\frac{K}{X}\right))$

így:

$X_C=K\exp (-\frac{a}{\alpha }).$

Néhány numerikus becslés az $X_C$-re

• $X_C\approx 10^9$ emberi tumorokra
• $X_C\approx 10^6$ egér tumorokra

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Statisztika
• Demográfia
• Derivált
• Logisztikai-függvény
• Gompertz-eloszlás

További információk

• A Gompertz-függvényről a MathWorld-ön