Giuga-számok

A számelmélet területén a Giuga-számok olyan összetett n számok, melyek különböző p_i prímtényezőire mind igaz, hogy $p_i|(\frac{n}{p_i}-1)$, vagy ami ezzel ekvivalens, minden különböző p_i prímtényezőre $p_i^2|(n-p_i)$.

A Giuga-számokat a kevéssé ismert Giuseppe Giuga olasz matematikusról nevezték el, a prímszámokkal kapcsolatos Agoh–Giuga-sejtéshez kapcsolódnak.

Definíciók

A Giuga-számok Takashi Agoh által megadott alternatív definíciója szerint egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

$n{B}_{\phi (n)}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$

kongruencia teljesül, ahol B egy Bernoulli-szám, $\phi (n)$ pedig az Euler-függvény.

Giuseppe Giuga a fentivel ekvivalens megfogalmazása szerint: egy n összetett szám akkor és csak akkor Giuga-szám, ha a

$\sum _{i=1}^{n-1}{i}^{\phi (n)}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$

kongruencia teljesül, továbbá teljesül, hogy

$\sum _{p|n}\frac{1}{p}-\prod _{p|n}\frac{1}{p}\in \mathbb{N}.$

Az eddig ismert n Giuga-számok valójában a következő erősebb feltételt is kielégítik:

$\sum _{p|n}\frac{1}{p}-\prod _{p|n}\frac{1}{p}=1.$

Példák

A Giuga-számok sorozata így kezdődik:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … Sablon:OEIS.

Például a 30 Giuga-szám, mivel prímtényezői 2, 3 és 5, melyekre igazak a következők:

• 30/2 − 1 = 14, ami osztható 2-vel,
• 30/3 − 1 = 9, ami osztható 3-mal és
• 30/5 − 1 = 5, ami osztható 5-tel.

Tulajdonságai

A Giuga-számok prímtényezőinek különbözőknek kell lenniük. Ha $p^2$ osztója $n$-nek, abból következik hogy $\frac{n}{p}-1=m-1$, ahol az $m=n/p$ szám osztható $p$-vel. Ezért $m-1$ nem lenne osztható $p$-vel, így tehát $n$ nem Giuga-szám.

A fentiek szerint kizárólag négyzetmentes számok lehetnek Giuga-számok. Például a 60 prímtényezői 2, 2, 3 és 5, továbbá 60/2 − 1 = 29, ami nem osztható 2-vel. Ezért a 60 nem Giuga-szám.

A prímszámok négyzetei tehát ki vannak zárva, de a diszkrét félprímek sem lehetnek Giuga-számok. Mivel ha $n=p_1{p}_2$ és $p_1<p_2$ pímszámok, akkor $\frac{n}{p_2}-1=p_1-1<p_2$, tehát $p_2$ nem lesz osztója $\frac{n}{p_2}-1$-nek, ezért $n$ nem Giuga-szám.

Az összes ismert Giuga-szám páros. Ha létezik páratlan Giuga-szám, legalább 14 prímszám szorzataként kell előállnia. Nem ismert, hogy létezik-e végtelen sok Giuga-szám.

Paolo P. Lava (2009) sejtése szerint a Giuga-számok az n' = n+1 differenciálegyenlet megoldásai, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Négyzetmentes számokra $n=\prod _i{p}_i$, $n^{\prime }=\sum _i\frac{n}{p_i}$, tehát n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

José Mª Grau és Antonio Oller-Marcén megmutatták, hogy egy n egész akkor és csak akkor Giuga-szám, ha valamely a > 0-ra kielégíti az n' = a·n + 1 differenciálegyenletet, ahol n' megegyezik n aritmetikai deriváltjával. (Itt is igaz, hogy n' = n+1 épp a fenti Definíciók szakasz utolsó egyenlete, n-nel megszorozva.)

Kapcsolódó szócikkek

• Carmichael-számok
• Elsődleges áltökéletes számok

Irodalom

• Sablon:MathWorld
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite book