Aritmetikai derivált

A matematikában, azon belül a számelméletben a Lagarias-féle aritmetikai derivált (vagy számderivált) az egész számokon értelmezett függvény. A prímtényezős felbontáson alapszik és a differeciálszámítás szorzatszabályával analóg módon viselkedik.

Az aritmetikai deriváltnak több változata létezik, beleértve az ebben a cikkben tárgyaltat (a Lagarias aritmetikai deriváltat) is. Másik fajtája például az Ihara-derivált és a Buium-derivált. Az aritmetikai derivált Josè Mingot Shelly spanyol matematikus vezette be 1911-ben. A fogalom az 1950-es Putnam-versenyen is megjelent.

Definíció

Jelölje $D(n)$ az $n$ természetes szám aritmetikai deriváltját. (A szokásos deriválthoz hasonlóan itt is lehetségesek egyéb jelölések, például $n^{\prime }$.) Ezt a következőképpen definiáljuk:

• $D(p)=1$ bármilyen $p$ prímre .
• $D(nm)=D(n)m+nD(m)$ minden $n\text{<mo>,</mo>}m\in \mathbb{N}$-re (Leibniz-szabály).

A természetes számokra adott definíciót Edward J. Barbeau terjesztette ki. Először is negatív számokra legyen $D(-x)=-D(x)$. A kiterjesztést folytathatjuk a racionális számokra a hányadosszabály által:

$D\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{D(p)q-pD(q)}{q^2}.$

Barbeau megmutatta, hogy ez jóldefiniált függvényt ad meg.

Victor Ufnarovski és Bo Åhlander kiterjesztette az aritmetikai deriváltat bizonyos irracionális számokra is. Ezekben az esetekben is a fenti képlet érvényes, de a prímek kitevői tetszőleges racionális számok lehetnek, lehetővé téve például a $D(\sqrt{3})$$D(\sqrt{3})$ $D(\sqrt{3})$és hasonló kifejezések kiszámítását.

Az aritmetikai derivált emellett definiálható bármely UFD-ben, azaz például a Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek gyűrűjében, illetve ezek hányadostesteiben. Ha az UFD egyben polinomgyűrű, akkor az aritmetikai derivált egybeesik a polinomgyűrűben a szokásos formális deriválttal.

Az aritmetikai derivált továbbá definiálható a moduló $n$ egészek gyűrűjében is.

Elemi tulajdonságok

A Leibniz-szabály következménye, hogy $D(0)=0$ ($n=m=0$) és $D(1)=0$ ($n=m=1$).

A hatványozási szabály a számderiváltra is érvényes: bármely Sablon:Mvar és Sablon:Math egész szám esetén:

$D(x^n)=n{x}^{n-1}D(x).$

Ez lehetővé teszi a számderivált kiszámítását a prímtényezős felbontás alapján: ha $x=\prod _{i=1}^{\omega (x)}{p_i}^{v_{p_i}(x)}$, akkor

$D(x)=\sum _{i=1}^{\omega (x)}[v_{p_i}(x)\left(\prod _{j=1}^{i-1}{p_j}^{v_{p_j}(x)}\right)p_i^{v_{p_i}-1}\left(\prod _{j=i+1}^{\omega (x)}{p_j}^{v_{p_j}(x)}\right)]=\sum _{i=1}^{\omega (x)}\frac{v_{p_i}(x)}{p_i}x=\sum _{\stackrel{p\mid x}{p\text{ prime}}}\frac{v_p(x)}{p}x$

Például:

$D(60)=D(2^2\cdot 3\cdot 5)=(\frac{2}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5})\cdot 60=92,$

vagy

$D(81)=D(3^4)=4\cdot 3^3\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.$

A Sablon:Math számok számderiváltjai a következők: Sablon:OEIS  :

$0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\dots$

Logaritmikus aritmetikai derivált

A hagyományos logaritmikus deriválttal analóg módon definiálható a logaritmikus aritmetikai derivált:

$\mathrm{ld}(x)=\frac{D(x)}{x}=\sum _{\stackrel{p\mid x}{p\text{ prime}}}\frac{v_p(x)}{p}$.

Ez egy teljesen additív függvény, azaz $\mathrm{ld}(x\cdot y)=\mathrm{ld}(x)+\mathrm{ld}(y)$.

Egyenlőtlenségek és korlátok

EJ Barbeau vizsgálta az aritmetikai derivált korlátait.

$D(n)\le \frac{n{\log }_{2}n}{2}$

és

$D(n)\ge \mathrm{\Omega }(n)n^{\frac{\mathrm{\Omega }(n)-1}{\mathrm{\Omega }(n)}}$

Dahl, Olsson és Loiko megállapította, hogy

$D(n)\le \frac{n{\log }_{p}n}{p}$

Számelméleti jelentősége

Victor Ufnarovski és Bo Åhlander vizsgálták az aritmetikai derivált kapcsolatát fontos számelméleti sejtésekkel, például az ikerprím-sejtéssel és a Goldbach-sejtéssel. Megmutatták, hogy a Goldbach-sejtésből következne, hogy minden Sablon:Math-re létezik olyan Sablon:Mvar, hogy Sablon:Math. Az ikerprím-sejtésből pedig az következne, hogy végtelen sok olyan Sablon:Mvar szám létezik, amelyre Sablon:Math.