Agoh–Giuga-sejtés

A számelmélet területén az Agoh–Giuga-sejtés a prímszámokat és a B_k Bernoulli-számokat összekötő sejtés, ami szerint p akkor és csak akkor prímszám, ha

$p{B}_{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

A sejtés névadói Takashi Agoh és Giuseppe Giuga.

Ekvivalens megfogalmazás

A sejtés fenti megfogalmazása Takashi Agohtól származik (1990); a Giuseppe Giuga által 1950-ben megadott változata úgy szól, hogy p akkor prím, ha

$1+2^{p-1}+\cdots +(p-1{)}^{p-1}=-1(\mathrm{mod}p),$

ami más alakban:

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Triviálisan igazolható, hogy a második egyenlőség fennállásának elégséges feltétele, ha p prím, hiszen ha p prímszám, a kis Fermat-tétel kimondja, hogy:

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

minden $a=1,2,\dots ,p-1$ értéke, amiből következik a második egyenlőség, hiszen $p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Állapot

Az állítás azért sejtés és nem tétel, mert ugyan a p prím volta az egyenlőség fennállásának elégséges, de nem biztos, hogy szükséges feltétele (tehát létezhet olyan n összetett szám, ami kielégíti a képletet). Megmutatták, hogy ha létezik olyan n összetett szám, ami kielégíti a képletet, akkor az egyszerre Carmichael-szám és Giuga-szám, ami legalább Sablon:Szám jegyű (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996).

A Wilson-tétellel való kapcsolata

Az Agoh–Giuga-sejtés hasonlóságot mutat az igaznak bizonyult Wilson-tétellel. A Wilson-tétel kimondja, hogy a p szám akkor és csak akkor prím, ha

$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p),$

ami a következő alakban is felírható:

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Jegyzetek

• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal