Fresnel-egyenletek

A Fresnel-egyenletek megadják, hogy a beeső fény intenzitásának hányad része verődik vissza, illetve hányad része lép be a másik közegbe, amikor egy fénynyaláb két különböző közeg határfelületéhez érkezik. Az összefüggéseket az éterelméletből levezetve Augustin-Jean Fresnel írta fel először, ezért róla kapták nevüket. Fizikailag helyes megalapozást azonban csak később a Maxwell-egyenletek megszületése után nyertek.

Polarizált eset

Az egyik egyenlet azt az esetet írja le, amikor a fény polarizációja párhuzamos a fényt visszaverő felülettel, a másik eset pedig azt írja le, amikor a polarizáció merőleges a felületre.

$F_{\Vert }(\lambda ,{\theta }^{\text{'}})={\left|\frac{\cos {\theta }^{\text{'}}-(v+\kappa j)cos\theta }{\cos {\theta }^{\text{'}}+(v+\kappa j)cos\theta }\right|}^2,$      $F_{\mathrm{\perp }}(\lambda ,{\theta }^{\text{'}})={\left|\frac{\cos \theta -(v+\kappa j)cos{\theta }^{\text{'}}}{\cos \theta +(v+\kappa j)cos{\theta }^{\text{'}}}\right|}^2$

Mivel a λ hullámhossztól függő törésmutató fémeknél komplex szám, ezért a törésmutató valós részét v, a képzetes részét κ jelöli. A j pedig az imaginárius egység. A θ' a felület normálvektora és a megvilágítási irány szöge, a θ pedig a visszaverődési irány és a felületi normálvektor szöge.

Polarizálatlan eset

A nem poláros fény ábrázolására az egyik szokásos eljárás, hogy a hullám elektromos térerősségvektorát két egymásra merőleges összetevőre bontjuk ( ${\overrightarrow{E}}_{\Vert }$ és ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{\perp }}$) majd összegezzük. A két összetevő amplitúdója azonos, átlagos értéke egyenlő egymással, de közöttük rendezetlen és gyorsan változó fázisviszonyok vannak. A továbbiakban az amplitúdókat egységnyinek tekintjük, azaz:

$|{\overrightarrow{E}}_{\Vert }|=|{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{\perp }}|=1$

Felhasználva a vektorok skaláris szorzásának az abszolútértékre vonatkozó következő azonosságát:

$|{\overrightarrow{a}}^2|={\overrightarrow{a}}^2=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{a}|\cdot \cos (0)=|\overrightarrow{a}{|}^2$

valamint a skaláris szorzás disztributivitása miatt használható binomiális tételt, a következő egyenlethez jutunk:

$F(\lambda ,{\theta }^{\text{'}})=\frac{{|F_{\Vert }(\lambda ,{\theta }^{\text{'}}{)}^{1/2}\cdot {\overrightarrow{E}}_{\Vert }+F_{\mathrm{\perp }}(\lambda ,{\theta }^{\text{'}}{)}^{1/2}\cdot {\overrightarrow{E}}_{\mathrm{\perp }}|}^2}{{|{\overrightarrow{E}}_{\Vert }+{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{\perp }}|}^2}=\frac{F_{\Vert }(\lambda ,{\theta }^{\text{'}})+F_{\mathrm{\perp }}(\lambda ,{\theta }^{\text{'}})}{2}$