Einstein-tenzor

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét. Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.

Meghatározás

Az Einstein-tenzor ($𝐆$) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

$𝐆=𝐑-\frac{1}{2}𝐠R,$

ahol $𝐑$ a Ricci-tenzor, $𝐠$ a metrikus tenzor és $R$ a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R.$

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

$G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0.$

Explicit kifejezés

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }R\\ & =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta }{R}_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })({\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \zeta ,ϵ}^{ϵ}-{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma ϵ,\zeta }^{ϵ}+{\mathrm{\Gamma }}_{ϵ\sigma }^{ϵ}{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \zeta }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{\zeta \sigma }^{ϵ}{\mathrm{\Gamma }}_{ϵ\gamma }^{\sigma }),\end{array}$

ahol ${\delta }_{\beta }^{\alpha }$ a Kronecker-tenzor és a Christoffel-szimbólum ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ meghatározása:

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha ϵ}(g_{\beta ϵ,\gamma }+g_{\gamma ϵ,\beta }-g_{\beta \gamma ,ϵ}).$

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerűsödik:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =g^{\gamma \mu }[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{ϵ\sigma }(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ})]\\ & =g^{\gamma \mu }({\delta }_{\alpha }^{ϵ}{\delta }_{\beta }^{\sigma }-\frac{1}{2}{g}^{ϵ\sigma }{g}_{\alpha \beta })(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ}),\end{array}$

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

$g_{\alpha [\beta ,\gamma ]ϵ}=\frac{1}{2}(g_{\alpha \beta ,\gamma ϵ}-g_{\alpha \gamma ,\beta ϵ}).$

Nyom

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor ($g^{\mu \nu }$) definíciója egyenletének összevonásával: $n$ dimenzióban:

$\begin{array}{cc}{g}^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }& =g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }R\\ G& =R-\frac{1}{2}(nR)\\ G& =\frac{2-n}{2}R\end{array}$

A 4 dimenzió speciális esete adja a $G$-t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív $R$, a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

mely a geometria egységrendszerben:

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }.$

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nemlineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerűen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0.$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. Sablon:ISBN

Kapcsolódó szócikkek

• Tenzor
• Téridő
• Metrikus tenzor
• Einstein-egyenletek
• Általános relativitáselmélet
• Parciális derivált
• Kronecker-delta