Christoffel-szimbólumok

A Christoffel-szimbólumok a tér "görbeségére" vonatkozó mennyiségek a differenciálgeometriában. Bevezetésük Elwin Bruno Christoffel (1829–1900) nevéhez fűződik.

Definíciójuk

Vegyük az xⁱ, i = 1,2,...,n, koordináta bázist az n dimenziós M differenciálható sokaságon. Legyen

$e_i=\frac{\partial }{\partial x^i},i=1,2,\dots ,n$

a tangens tér bázisa. Jelölje $g_{ab}$ a metrikus tenzort. Ekkor felsőindexes Christoffel-szimbólumoknak nevezzük a következő mennyiségeket

${\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^i=\frac{1}{2}{g}^{im}(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}+\frac{\partial g_{m\ell }}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{k\ell }}{\partial x^m})$

Itt és a következőkben, a kétszer előforduló indexekre automatikusan összegzés értendő (Einstein-féle konvenció). Jelölje vessző a parciális deriváltat. E jelöléssel a Christoffel-szimbólumok a következőképpen írhatóak:

${\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^i=\frac{1}{2}{g}^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}).$

Alsó indexes formája

A Christoffel-szimbólumok alsó indexes formája a következő alakú:

${\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \alpha \beta }=g_{\gamma \delta }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\delta }=\frac{1}{2}(g_{\gamma \alpha ,\beta }+g_{\beta \gamma ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\gamma }).$

Szimmetriája

A definícióból következően a Christoffel-szimbólumok az alsó indexeikben szimmetrikusak:

${\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^i={\mathrm{\Gamma }}_{\ell k}^i$

Hasonlóan, az alsó indexes Christoffel-szimbólumok pedig a két utolsó indexükben szimmetrikusak:

${\mathrm{\Gamma }}_{ikm}={\mathrm{\Gamma }}_{imk}$

Kapcsolódó szócikkek

• Általános relativitáselmélet
• Differenciálgeometria
• Vektortér

Források

Hajós György: Differenciálgeometria I. Tankönyvkiadó. Budapest. 1973.

Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006