Dimenziómentes mennyiség

A dimenzióanalízisben a dimenziómentes mennyiség vagy 1 dimenziójú mennyiség olyan mennyiség, melyhez nem társul fizikai dimenzió. Ennél fogva tehát ez csak egy „egyszerű szám”, a dimenziója mindig 1. A dimenziómentes mennyiségek széles körben használatosak a matematikában, fizikában, mérnöki és gazdaságtudományban, valamint a mindennapi életben (pl.: számlálás). Számos jól ismert mennyiség, úgymint: π, e, és φ, dimenzió nélküli. Ezzel ellentétben a nem dimenziómentes mennyiségeket hosszúság-, terület-, idő-, stb. egységekben mérjük.

A dimenziómentes mennyiségeket gyakran nem dimenziómentes mennyiségek szorzataként, vagy hányadosaként definiáljuk, melyek dimenziója a művelet során kiesik. Ez a helyzet például a deformáció mértékének esetében, melyet a hosszúságváltozás és az eredeti hossz hányadosaként definiálunk. Mivel mindkét mennyiség dimenziója L (hosszúság, az angol length szóból), az eredmény dimenziómentes mennyiség lesz.

Tulajdonságok

• Bár a dimenziómentes mennyiségekhez nem társul fizikai dimenzió, dimenziómentes mértékegységük azért lehet. A mért mennyiség közlése érdekében néha hasznos ugyanazt a mértékegységet írni a számlálóba és a nevezőbe, pl.: kg/kg a tömegtört, mol/mol a móltört esetében. Egy mennyiség megadható két különböző mértékegység hányadosával is, melyeknek ugyanakkor a dimenziója azonos (például fényév/méter). Ez az eset áll fenn görbék meredekségének számításakor, vagy mértékegységek átváltásakor. Ez azonban kizárólag jelölésbeli megállapodás, ami nem jelenti semmiféle fizikai dimenzió meglétét. Ilyen dimenziómentes egység a % (= 0.01), ‰ (= 0.001), ppm (= 10⁻⁶), ppb (= 10⁻⁹), ppt (= 10⁻¹²), a szögegységek (fok, radián, gradián), vagy a tucat.
• Két azonos dimenziójú mennyiség hányadosa dimenziómentes, és értéke állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékegységgel számolunk. Ha például egy A test F erővel hat egy B testre, B test pedig f erővel hat A testre, akkor az F/f hányados mindig 1-gyel egyenlő, bármi legyen is F és f mértékegysége. Ez a dimenziómentes arányok alapvető tulajdonsága, mely abból a feltételezésből következik, hogy a fizikai törvények függetlenek a kifejezésükre használt mértékegységrendszertől. Jelen esetben, ha az F/f arány nem lenne mindig 1, hanem értéke megváltozna, ha SI helyett CGS-ben számolnánk, az azt jelentené, hogy Newton harmadik törvényének érvényessége attól függ, milyen mértékegységrendszert használunk, ami ellentmondana ennek az alapfeltételezésnek. Ez a feltevés az alapja Buckingham Π-tételének. E tétel egyik állítása az, hogy bármely fizikai törvény kifejezhető egy matematikai azonosságként, kizárólag az adott törvénnyel kapcsolatos változók dimenziómentes kombinációinak (szorzatának vagy hányadosának) felhasználásával (pl.: a Boyle–Mariotte-törvény a nyomást és a térfogatot kapcsolja össze, melyek fordítottan arányosak). Ha a dimenziómentes kombinációk értéke megváltozna egy másik mértékegységrendszerben, akkor az egyenlet nem lenne azonosság, és Buckingham tétele nem állna.

Buckingham-féle Π-tétel

Buckingham Π-tételének másik kijelentése, hogy egy n számú változó közti összefüggés átalakítható n-k független dimenziómentes mennyiség közötti összefüggéssé, ahol k az eredeti összefüggésben előforduló alapmennyiségek száma. A kísérletező számára egyenértékűek mindazok a különböző rendszerek, melyek dimenziómentes mennyiségekkel azonos módon írhatók le.

Példa

Egy adott formájú keverő teljesítményszükséglete a kevert folyadék sűrűségének és viszkozitásának, valamint a keverő átmérőjének és fordulatszámának függvénye. Példánkban tehát n = 5 változó szerepel.

Ez az n = 5 változó k = 3 dimenzióból épül fel:

• Hosszúság: L (m)
• Idő: T (s)
• Tömeg: M (kg)

A Π-tétel szerint a változók n = 5 száma csökkenthető a dimenziók k = 3 számával, így p = n - k = 5 - 3 = 2 független dimenziómentes számot kapunk, melyek a keverő esetében:

• a Reynolds-szám (a folyadékáramlást leíró dimenziómentes szám)
• a keverési Euler-szám (a keverőt írja le, de a fluidum sűrűségét is tartalmazza; keverési Newton-számnak is nevezik).

Szabványosítási törekvések

Az International Committee for Weights and Measures (Súly- és Mértékügyi Nemzetközi Bizottság) fontolgatta az 1 egység „uno”-ként való bevezetését, de végül elvetették az ötletet.

Példák

• Sára azt mondja: „Minden 10 almából amit leszedek, 1 rothadt.” A rothadt/leszedett arány (1 alma) / (10 alma) = 0,1 = 10%, ami egy dimenziómentes mennyiség.
• A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és egy másik hosszúságnak az aránya. A hányados dimenziómentes, ugyanis hosszúság / hosszúság = 1. A radián esetében az ív hosszát a kör sugarához, a fok esetében a kör kerületének 1/360-ad részéhez viszonyítjuk.
• A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként kapott π dimenziómentes mennyiség, melynek számértéke állandó, függetlenül attól, milyen egységben mérjük a kerületet és az átmérőt (cm, mérföld, fényév, stb.), de természetesen a kettő mértékegységének meg kell egyezni.

Néhány fontosabb dimenziómentes szám

Név	Jelölés	Definíció
Archimedes-szám	Ar	$Ar=\frac{g{L}^3{\rho }^2}{{\eta }^2}\frac{{\rho }_1-{\rho }_2}{{\rho }_2}=Ga\frac{{\rho }_1-{\rho }_2}{{\rho }_2}$
Euler-szám	Eu	$Eu=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho v^2}$
Froude-szám	Fr	$Fr=\frac{v^2}{Lg}$
Galilei-szám	Ga	$Ga=\frac{g{L}^3{\rho }^2}{{\eta }^2}=\frac{R{e}^2}{Fr}$
Grashof-szám	Gr	$Gr=\frac{g{L}^3{\rho }^2\beta \mathrm{\Delta }T}{{\eta }^2}=Ga\beta \mathrm{\Delta }T$
Reynolds-szám	Re	$Re=\frac{vL\rho }{\eta }$
Weber-szám	We	$We=\frac{\rho v^{2}l}{\sigma }$
Nusselt-szám	Nu	$Nu=\frac{\alpha L}{\lambda }$
Prandtl-szám	Pr	$Pr=\frac{\nu }{a}=\frac{\eta c_p}{\lambda }$
Péclet-szám	Pe	$Pe=\frac{vL}{a}=RePr$
Stanton-szám	St	$St=\frac{\alpha }{v\rho c_p}=\frac{Nu}{RePr}$
Fourier-szám	Fo	$Fo=\frac{\alpha t}{L^2}$
Biot-szám	Bi	$Bi=\frac{\alpha L}{{\lambda }_s}$
Rayleigh-szám	Ra	$Ra=\frac{\beta \mathrm{\Delta }Tg{L}^3}{\nu a}=GrPr$
Sherwood-szám	Sh	$Sh=\frac{{\beta }_{i}L}{D_i}$
Schmidt-szám	Sc	$Sc=\frac{\nu }{D_i}$
Lewis-szám	Le	$Le=\frac{a}{D_i}=\frac{Sc}{Pr}$
Péclet'-szám	Pe'	$P{e}^{\prime }=\frac{vL}{D_i}=ReSc$
Stanton-szám	St'	$S{t}^{\prime }=\frac{{\beta }_i}{v}=\frac{Sh}{ReSc}$

Dimenziómentes fizikai állandók

Bizonyos alapvető fizikai állandók, úgymint a fénysebesség vákuumban, a gravitációs állandó, a Planck-állandó és a Boltzmann-állandó értéke 1, ha az idő, hosszúság, tömeg, töltés és hőmérséklet egységeket megfelelően választjuk meg. Eredményül az ún. természetes mértékegységrendszert kapjuk.

• α, a finomszerkezeti állandó, csatolási (kapcsolati) állandó, mely az elektromágneses kölcsönhatás erősségét jellemzi: α ≈ 1/137;
• μ vagy β, a proton-elektron tömegarány, a proton és az elektron nyugalmi tömegének hányadosa: μ ≈ 1836;
• α_s, az erős kölcsönhatás csatolási állandója;
• α_G, a gravitáció csatolási állandója: α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵.