Csillapítási tétel

A csillapítási tétel a Laplace-transzformált egy fontos tulajdonságát mondja ki.

Legyen az f valós, vagy komplex értékű függvény értelmezve a nem negatív valós számok halmazán, továbbá legyen szakaszonként folytonos, exponenciális függvénnyel korlátozható, és (jobbról) folytonos nullában. Jelölje f-nek az egzisztenciatétel miatt létező Laplace-transzformáltját F. Ha az s komplex szám valós része elég nagy, akkor

$ℒ(e^{-zt}f(t))(s)=F(s+z)$

ahol $ℒ$ a Laplace-operátor jele.

Következményei

A tétel következményeként kapható, hogy

$ℒ(e^{\alpha t}\sin \beta t)(s)=\frac{\beta }{(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$

és

$ℒ(e^{\alpha t}\cos \beta t)(s)=\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$

Bizonyítás

A tétel könnyen bizonyítható:

$ℒ(e^{-zt}f(t))(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}{e}^{-zt}f(t)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(s+z)t}f(t)\mathrm{d}t=ℒ(f)(s+z).$

Források

• Jegyzet a Pannon Egyetemről
• Jegyzet a Miskolci Egyetemről