Bástyagráf

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy bástyagráf (rook's graph) olyan gráf, ami a sakkjátékban szereplő bástya nevű figura lehetséges lépéseit jeleníti meg egy sakktáblán: a csúcsok a sakktábla egy-egy mezőjét jelképezik, az élek pedig a legális lépéseket köztük. A bástyagráfok erősen szimmetrikus, perfekt gráfok; jellemző rájuk, hogy éleik hány háromszöghöz tartoznak, valamint a nem szomszédos csúcspárokat összekötő Sablon:Math-körök létezése. A bástyagráf a sakkfigurák gráfjai között (futógráf, huszárgráf, királygráf, vezérgráf) egyedülálló szimmetriákat és regularitást mutat.

Definíció és jellemzés

Egy Sablon:Math-es bástyagráf a bástya lépési lehetőségeit mutatja meg egy Sablon:Math-es sakktáblán. Csúcsaihoz Sablon:Math koordináták rendelhetők, ahol Sablon:Math és Sablon:Math egész számok. Az Sablon:Math, illetve Sablon:Math csúcsok pontosan akkor szomszédosak, ha az Sablon:Math és az Sablon:Math állítások valamelyike igaz; tehát ha a sakktábla azonos oszlopában vagy sorában találhatóak.

Egy Sablon:Math-es bástyagráfnál a csúcsok száma Sablon:Math, az Sablon:Math-es bástyagráfnál (amilyen a normál sakktábla is, n=8), a csúcsok száma Sablon:Math, az élek száma pedig Sablon:Math; ebben az esetben a gráf egy kétdimenziós Hamming-gráf vagy latin négyzet-gráf.

Minden bástyagráf 2-összefüggő és rendelkezik Hamilton-körrel az elfajult n=1 vagy m=1 eset kivételével. A bástyagráf speciális esete az 1×n-es sakktáblán a $K_n$ teljes gráf.

Egy Sablon:Math-es bástyagráf meghatározható úgy is, mint a Sablon:Math és Sablon:Math teljes gráfok Descartes-szorzata, képlettel kifejezve Sablon:Math. A Sablon:Math-es bástyagráf komplementere egy koronagráf.

Sablon:Harvtxt és Sablon:Harvtxt jellemzése alapján az Sablon:Math-es bástyagráfok a következő egyedi, rájuk jellemző tulajdonságokkal bírnak:

• Sablon:Math csúccsal rendelkezik, melyek mindegyikéhez Sablon:Math él tartozik.
• Az élek közül pontosan Sablon:Math tartozik Sablon:Math háromszöghöz, a maradék Sablon:Math él pedig Sablon:Math háromszöghöz (a háromszögelés során a bástya megtartja vagy saját sorát, vagy saját oszlopát).
• Bármely két, nem szomszédos csúcs pontosan egy, rájuk jellemző Sablon:Math-körhöz tartozik.

Ha Sablon:Math, a feltételek rövidebben úgy is megfogalmazhatók, hogy az Sablon:Math-es bástyagráf erősen reguláris gráf Sablon:Math paraméterekkel, és minden ezekkel a paraméterekkel rendelkező, erősen reguláris gráf egy Sablon:Math-es bástyagráf, kivéve, ha Sablon:Math. Az Sablon:Math esetben létezik még egy, az Sablon:Math bástyagráf paramétereivel megegyező erősen reguláris gráf, méghozzá a Shrikhande-gráf. A Shrikhande-gráf és a Sablon:Math-bástyagráf könnyen megkülönböztethetők egymástól, mivel a bástyagráf bármely csúcsának szomszédságában két háromszög, a Shrikhande-gráf bármely csúcsának szomszédságában pedig egy Sablon:Math-kör található.

Szimmetria

A bástyagráfok csúcstranzitív és Sablon:Math-reguláris gráfok; ők az egyetlen, standard sakkfigurák mozgását leíró reguláris gráfok. Ha Sablon:Math, a bástyagráf szimmetriái a gráf sorainak, illetve oszlopainak külön-külön permutálásából adódnak. Ha Sablon:Math, a gráf további, a sorok és oszlopok felcseréléséből adódó szimmetriákkal is rendelkezik.

A bástyagráf bármely két csúcsa vagy 1 vagy 2 távolságra van egymástól. Bármely két, nem szomszédos csúcs transzformálható másik két nem szomszédos csúccsá a gráf egy szimmetriája segítségével. Ha a bástyagráf nem négyzetes, a szomszédos csúcspárok a szimmetriacsoport két pályájába esnek, attól függően, hogy vízszintesen vagy függőlegesen szomszédosak; ha viszont a gráf négyzetes, bármely két szomszédos csúcs átvihető egymásba egy szimmetria segítségével, ezáltal a gráf távolságtranzitív.

Ha Sablon:Mvar és Sablon:Mvar relatív prímek, a bástyagráf Sablon:Math szimmetriacsoportja alcsoportként magában foglalja a Sablon:Math ciklikus csoportot, ami az Sablon:Math csúcs ciklikus permutációjával hat; ebben az esetben tehát a bástyagráf egy cirkuláns gráf.

Perfektség

A 3×3-as bástyagráf, három színnel színezve, az egyik 3 csúcsból álló klikkje megjelölve. Ennek a gráfnak és minden feszített részgráfjának kromatikus száma megegyezik a klikkszámával, tehát perfekt gráf.

A bástyagráf úgy is tekinthető, mint a Sablon:Math teljes páros gráf élgráfja – tehát olyan gráf, ami a Sablon:Math minden éléhez egy csúcsot tartalmaz, és két csúcsa akkor szomszédosak, ha a teljes páros gráfban a megfelelő élek közös végpontból indulnak. Így tekintve, a teljes páros gráf egy éle, ami a bipartíció egyik oldalának Sablon:Mvar-edik csúcsa és a bipartíció másik oldalának Sablon:Mvar-edik csúcsa között húzódik, egy sakktábla Sablon:Math koordinátájú mezőjének felel meg.

Bármely páros gráf egy teljes páros gráf részgráfja, ennek megfelelően bármely páros gráf élgráfja egy bástyagráf feszített részgráfja.Sablon:Sfnp A páros gráfok élgráfjai perfektek: bennük, és bármely feszített részgráfjukban a színezésükhöz szükséges színek száma megegyezik legnagyobb teljes részgráfjuk (klikkjük) csúcsainak számával. A páros gráfok élgráfjai a perfekt gráfok fontos családját alkotják: egyikét alkotják a Sablon:Harvtxt által a perfekt gráfok karakterizációjához felhasznált kevés számú családnak, melyekkel megmutatták, hogy a páratlan lyukak és páratlan antilyukak nélküli gráfok perfektek. Továbbá a bástyagráfok maguk is perfektek.

Mivel a bástyagráfok perfektek, a gráf színezéséhez annyi színre van szükség, mint a legnagyobb klikkjének a mérete. A bástyagráfok klikkjei sorainak és oszlopainak részhalmazai, ezek közül a legnagyobbaknak a mérete Sablon:Math, tehát ennyi a gráf kromatikus száma is. Egy Sablon:Math-es bástyagráf Sablon:Mvar-színezése latin négyzetként is értelmezhető: leírja, hogy lehet az Sablon:Math-es rács sorait és oszlopait úgy feltölteni Sablon:Mvar különböző értékkel, hogy ugyanaz az érték ne jelenjen meg egynél többször ugyanabban a sorban vagy oszlopban.

Sablon:Sakkdiagram Egy bástyagráf független csúcshalmaza olyan csúcsok halmaza, melyek közül semelyik sincs a gráf azonos oszlopában vagy sorában, azaz, sakk-terminológiával élve olyan, a sakktáblán elhelyezett bástyákról van szó, melyek közül semelyik sem áll ütésben a többiek által. A perfekt gráfok úgy is leírhatók, mint olyan gráfok, melyek minden feszített részgráfjában a legnagyobb független csúcshalmaz mérete megegyezik a lehető legkevesebb klikkbe particionálásban a klikkek számával. Egy bástyagráfban a sorok halmaza vagy az oszlopok halmaza (amelyik kisebb) ilyen optimális partíciót alkot. A gráf legnagyobb független csúcshalmazának mérete ezért Sablon:Math. A bástyagráf bármely optimális színezésének összes színosztálya maximális elemszámú független csúcshalmazt alkot.

Dominálás

Egy gráf dominálási száma a legkisebb domináló halmazának elemszámával egyezik meg. A bástyagráfban egy csúcshalmaz pontosan akkor domináló halmaz, ha az Sablon:Math-es sakktáblán nekik megfelelő mezők vagy megegyeznek, vagy egy bástyalépés távolságra vannak a többi mezőtől. Az Sablon:Math-es táblán a dominálási szám Sablon:Math.

A bástyagráf egy Sablon:Mvar-domináló halmaza olyan csúcshalmaz, melyhez tartozó mezőkön álló bástyák minden más mezőt legalább Sablon:Mvar-szor támadnak. A bástyagráf Sablon:Mvar-tuple domináló halmaza olyan csúcshalmaz, melyhez tartozó mezőkön álló bástyák minden más mezőt legalább Sablon:Mvar-szor támadnak, és ők maguk is legalább Sablon:Math-szer ütésben állnak. ASablon:Mvar-domináló és Sablon:Mvar-tuple domináló halmazok közül a legkisebb számosságúnak az elemszámát Sablon:Mvar-dominációs számnak, illetve Sablon:Mvar-tuple dominációs számnak nevezik. Négyzetes táblán, páros Sablon:Mvar-ra a Sablon:Mvar-dominációs szám Sablon:Math, ha Sablon:Math és Sablon:Math. Hasonlóan, a Sablon:Mvar-tuple dominációs szám Sablon:Math, ha Sablon:Mvar páratlan és kisebb, mint Sablon:Math.

Kapcsolódó szócikkek

• Futógráf
• Huszárgráf
• Királygráf
• Vezérgráf
• Rácsgráf

További információk

• Sablon:Mathworld