Affin transzformáció

Franciaország körvonala

Franciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettek

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Lényege, hogy egy affin terek közötti transzformáció affin, ha megőrzi a kollinearitást, a párhuzamosságot és az osztóviszonyt. Pontosabban:

• A kollinearitást megőrzi, ha valahányszor egy egyenesre esik három pont, akkor a képpontok is egy egyenesre esnek. Ez nem zárja ki, hogy a képük ugyanaz a pont legyen.
• A párhuzamosságot megőrzi, ha valahányszor két egyenes párhuzamos, akkor a képegyenesek is párhuzamosok.
• Az osztóviszony megőrzése azt jelenti, hogy valahányszor három pont egy egyenesre esik, a képpontok közötti távolságot a középső pont ugyanabban az arányban osztja fel, mint az eredeti pontok közül a középső pont.

Speciális affin transzformációk:

• Egy affin tér önmagára vett bijektív affin transzformációját affinitásnak nevezik.
• A fixpontos affin transzformációkat lineáris leképezéseknek nevezik például az iskolai matematikában vagy speciális alkalmazásterületeken, például a statisztikában.

Definíció

Ha $(A,V_A)$ és $(B,V_B)$ affin terek, akkor egy $f:A\to B$ leképezés affin, ha van egy $\phi :V_A\to V_B$ lineáris leképezés a hozzájuk tartozó vektorterek között úgy, hogy

$\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\phi \left(\overrightarrow{PQ}\right)$

minden $P,Q\in A$ pontra. Itt az $\overrightarrow{PQ}\in V_A$ és $\overrightarrow{f(P)f(Q)}\in V_B$ vektorok az eredeti pontok és a képpontok összekötő vektorai.

Hogyha $A=V_A$ és $B=V_B$, akkor az $f:A\to B$ leképezés affin, ha van egy $\phi :V_A\to V_B$ lineáris leképezés úgy, hogy

$f(P)=f(0)+\phi (P)$

minden $P\in A$. Ekkor az affin leképezés megkapható egy lineáris leképezésből az $f(0)$ vektorral való eltolással.

Tulajdonságok

• A definícióban szereplő $\phi$ leképezést $f$ egyértelműen meghatározza. A következőkben ${\phi }_f$ jelöli.
• Egy $f:A\to B$ leképezés akkor és csak akkor affin, ha van egy $P_0\in A$ úgy, hogy

${\phi }_f:V_A\to V_B,\overrightarrow{P_{0}Q}\mapsto \overrightarrow{f(P_0)f(Q)}$

lineáris.

• Ha adva van $P_0\in A$ és $Q_0\in B$, illetve egy $\psi :V_A\to V_B$ lineáris leképezés, akkor pontosan egy $f:A\to B$ affin leképezés létezik úgy, hogy $f(P_0)=Q_0$ és ${\phi }_f=\psi$.
• Egy $f$ affin leképezés pontosan akkor bijektív, ha ${\phi }_f$ is bijektív. Ekkor az $f^{-1}:B\to A$ inverz leképezés szintén affin és ${\phi }_{f^{-1}}=({\phi }_f{)}^{-1}$.
• Ha $(C,V_C)$ szintén affin tér úgy, hogy $f:A\to B$, $g:B\to C$ is affin, akkor $g\circ f:A\to C$ is affin, és ${\phi }_{g\circ f}={\phi }_g\circ {\phi }_f$.

Ábrázolások koordinátákkal

Affin koordináta-rendszerben

Descartes-koordináta-rendszert vagy általánosabban, affin koordináta-rendszert feltételező esetben az affin transzformációk előállnak egy lineáris transzformáció és egy eltolás szorzataként. Egy lineáris transzformáció ábrázolható mátrixszal, és egy eltolás vektorral, azért az affin transzformáció általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

$\stackrel{\text{Transzformált koordináták}}{\left[\begin{array}{ccc}{X}^{\text{'}},& Y^{\text{'}},& Z^{\text{'}}\end{array}\right]}=\stackrel{\text{ Eredeti koordináták}}{\left[\begin{array}{ccc}X,& Y,& Z\end{array}\right]}\cdot \stackrel{3\times 3\text{ mátrix}}{\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}+\stackrel{P\text{ Vektor}}{\left[\begin{array}{ccc}{P}_x,& P_y,& P_z\end{array}\right]}$

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, tükrözés, vetítés, nyírás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Röviden:

$f(\overrightarrow{x})=A\cdot \overrightarrow{x}+\overrightarrow{p}$

Ezzel az írásmóddal $\overrightarrow{x}$ és $f(\overrightarrow{x})$ oszlopvektorok, és egy pont ősképét, illetve képét ábrázolják. Az $A$ mátrix sorainak száma megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amibe a transzformáció képez(${𝒜}_2$); az oszlopok száma egyenlő annak a térnek a dimenziójával, amiből a transzformáció képez (${𝒜}_1$).

Az affin leképezés $f({𝒜}_1)$ képterének dimenziója megegyezik a mátrix rangjával.

Ha egy affin teret önmagára képezünk, akkor csak egy koordináta-rendszert kell választani; mind $\overrightarrow{x}$, mind $f(\overrightarrow{x})$ koordinátáit ebben a rendszerben írjuk fel. Mivel az ős- és a képtér megegyezik, dimenziójuk ugyanakkora, így az $A$ mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik, tehát az $A$ mátrix négyzetes. Ebben az összefüggésben azonosítják az eltolások terét is az affin térrel. Így az affin önleképezések azonosíthatók a lineáris leképezések és az eltolások kombinációjával.

Egy affin önleképezés pontosan akkor affinitás, ha a leképezésmátrix determinánsa nem nulla.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

$\stackrel{\text{Transzformált koordináták}}{\left[\begin{array}{cccc}{X}^{\text{'}},& Y^{\text{'}},& Z^{\text{'}},& 1\end{array}\right]}=\stackrel{\text{Eredeti koordináták}}{\left[\begin{array}{cccc}X,& Y,& Z,& 1\end{array}\right]}\cdot \stackrel{4\times 4\text{ mátrix}}{\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& 0\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& 0\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& 0\\ P_x,& P_y,& P_z& 1\end{array}\right]}$

A leképezés egyenlete homogén koordinátavektorokkal:

$f_h(\overrightarrow{x_h})=A_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}}(A,\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{x_h}$.

Ez az ábrázolás értelmezhető az affin tér megfelelő dimenziójú projektív térbe ágyazásaként. Ekkor a homogén koordináták értelmezhetők projektív koordinátákként.

Osztályozás

Az affinitásokat fixpontjaik szerint osztályozzák. Egy pont fixpont, ha a transzformáció önmagára képezi le. Ha ${\overrightarrow{x}}_p$ fixpont, akkor koordinátái meghatározhatók az ${\overrightarrow{x}}_p-A\cdot {\overrightarrow{x}}_p=\overrightarrow{t}$ egyenlet alapján. Figyelembe kell venni, hogy $\overrightarrow{t}\ne 0$ fixpont is létezhet, lásd például a síkban a tengelyes tükrözést.

Az osztályozás a síkbeli (kétdimenziós) affin térben:

1. Identitás, minden pont fix
2. Tengelyes affinitás: egy affinitás, melynek fixpontjai egyenest alkotnak, ez az affinitás tengelye. Ide tartoznak a ferdén tükrözések, a nyírások és a párhuzamos nyújtások.
3. Középpontos affinitás: egyetlen fixpont van, az affinitás középpontja. Ide tartoznak a forgatva nyújtás, köztük a középpontos tükrözések, forgatások és középpontos hasonlóságok; a nyírva nyújtás és az Euler-affinitás.
4. Fixpont nélküli affinitások: ide tartoznak a valódi eltolások, vagy pedig egy tengelyes vagy középpontos affinitás kombinációja valódi eltolással.

A síkbeli affinitások normálformája

Alkalmas affin pontbázisválasztással minden síkaffinitás normálformára hozható. Ehhez az origót egy fixpontban jelölik ki. Amennyiben vannak fixegyenesek, úgy a koordinátatengelyeket ezek irányában jelölik ki. Persze ezek a módszerek az identitás esetén nem működnek, de ahhoz önkényesen választunk origót és tengelyeket, és amúgy is az identitásmátrixot kapjuk. Az alábbi normálformák a valós affin sík normálformáit tartalmazzák. Amennyiben nincs fixpont, úgy a leíráshoz egy $\overrightarrow{t}\ne 0$ vektorra is szükség van.

• Tengelyes affinitások:

• Nyírás

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

• Ferdén tükrözés

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

• Párhuzamos nyújtás

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a\end{array}\right);a>0$

• Középpontos affinitások: a fixpontot origónak választva, a tengelyeket az A mátrix sajátvektorainak irányába felvéve

• Forgatva nyújtás

$A=r\cdot \left(\begin{array}{cc}\cos (\phi )& -\sin (\phi )\\ \sin (\phi )& \cos (\phi )\end{array}\right),$, ahol $|r|$ a nyújtás tényezője, és $\phi$ a forgatás szöge

• Nyírva nyújtás

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right);a\in ℝ\setminus \{0;1\}$

• Euler-affinitás

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right);a\ne b;a,b\in ℝ\setminus \{0;1\}.$

Ha $K$ a valós számok euklideszi részteste, akkor a $K^2$ affin sík affin transzformációi is ugyanígy csoportosíthatók; ekkor azonban a mátrixkoordinátáknak is ebből a testből kell kikerülniük, azaz $a,b,r,\cos (\phi ),\sin (\phi )\in K$. Forgatva nyújtások esetén azonban a $\phi \in ℝ$ szögmértéknek nem kell testelemnek lennie.

Speciális affin transzformációk

• Egy tér önmagára vett affin transzformációja affin önleképezés. Ha egy önleképezés bijektív, akkor affinitás.
• Ha egy affinitásban minden egyenes párhuzamos a képével, akkor az dilatáció vagy homotécia. Az eltolások speciális homotéciák.
• Ha egy affin önleképezés megőrzi a pontok euklideszi távolságát, akkor az egybevágóság. Ezek a leképezések szükségszerűen bijektívek, tehát affinitások.
• Fontos nem bijektív önleképezések a merőleges vetítések. Jellegzetességük, hogy a teret egy alterére képezik le, és az adott altérre leszűkítve az altér identitását kapjuk.
• Egydimenziós affin tér önleképezéseit affin függvényeknek is nevezik.

Alkalmazások

Egy önaffin fraktálszerű alakzat a Barnsley-páfrány. A teljes levél affin transzformációval átvihető kisebb levélkéibe tükrözéssel, forgatással, skálázással és eltolással

Grafikus alkalmazások

Affin leképezéseket alkalmaznak a térképészetben és a képfeldolgozásban.

• A robotikában és a komputergrafikában a forgatás, tükrözés, skálázás, nyírás és eltolás a gyakrabban alkalmazott transzformációk. Mindezek a leképezések bijektívek.
• Ha háromdimenziós testeket akarunk két dimenzióban ábrázolni, akkor nem bijektív leképezéseket használnak:

• párhuzamos vetítés annak speciális eseteivel
• középpontos vetítés, ami nem affin, hanem projektív transzformáció
• további transzformációk, amelyek még csak nem is projektív transzformációk, lásd a Mercator-vetítés

• A vektorgrafikák standardizált leírásában szintén affin transzformációkat használnak (például SVG formátum)

Statisztikai alkalmazások

A statisztikában lineáris transzformációkkal lehet a legtöbbször találkozni.

Eloszlások jellemzése

Legyen $X$ véletlen valószínűségi változó, az $\mathrm{E}(X)$ várható értékkel és $\mathrm{Var}(X)$ szórásnégyzettel! Képezzük az $Y$ véletlen valószínűségi változót úgy, hogy az $X$ véletlen valószínűségi változó lineáris transzformáltja legyen, azaz

$Y=a+bX,$

ahol $a$ és $b$ valós számok.

Ekkor az $Y$ véletlen valószínűségi változó várható értéke

$\mathrm{E}(Y)=a+b\mathrm{E}(X),$

szórásnégyzete

$\mathrm{Var}(Y)=b^2\mathrm{Var}(X).$

Speciálisan, ha $X$ normális eloszlású, akkor $Y$ is normális eloszlású, a fenti paraméterekkel.

Például: Legyen $X$ pozitív szórásnégyzetű véletlen valószínűségi változó! Ekkor hasznos az

$Y=\frac{X-\mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}},$

lineáris transzformáció, mivel ekkor $Y$ az $\mathrm{E}(Y)=0$ és $\mathrm{Var}(Y)=1$ értékekkel standardizált véletlen valószínűségi változó.

Legyen $\underset{\_}{X}=(X_1,\dots ,X_p{)}^T$ valószínűségi vektorváltozó, legyen ${\underset{\_}{\mu }}_X$ a várható értékek vektora, és ${\underset{\_}{\mathrm{\Sigma }}}_X$ az $\underset{\_}{X}$ valószínűségi vektorváltozó kovarianciamátrixa! Ekkor, ha az $\underset{\_}{Y}$ valószínűségi vektorváltozó az $\underset{\_}{X}$ valószínűségi vektorváltozó lineáris transzformáltja, azaz

$\underset{\_}{Y}=\underset{\_}{a}+\underset{\_}{B}\underset{\_}{X},$

ahol $\underset{\_}{a}$ egy $q$ dimenziós oszlopvektor és $\underset{\_}{B}$ egy $q\times p$ méretű mátrix; ekkor $\underset{\_}{Y}$ várható értéke

${\underset{\_}{\mu }}_Y=\underset{\_}{a}+\underset{\_}{B}{\underset{\_}{\mu }}_X$

és kovarianciamátrixa

${\underset{\_}{\mathrm{\Sigma }}}_Y=\underset{\_}{B}{\underset{\_}{\mathrm{\Sigma }}}_X{\underset{\_}{B}}^T$.

Speciálisan, ha $\underset{\_}{X}$ $p$-dimenziós normális eloszlású, akkor $\underset{\_}{Y}$ $q$ dimenziós normális eloszlású, a fent kiszámított paraméterekkel.

Példák

Az affin transzformációk pontot pontba, egyenest egyenesbe, párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe, síkokat síkokba visznek.

A képfeldolgozási alkalmazásokban affin transzformációkat használnak arra, hogy a kamerapozícióból adódó torzításokat kiküszöböljék. Például a műholdak által alkotott képek nagylátószögű objektívekkel készítik, és panorámaképeket alkotnak, képkombinációkat készítenek. A képek transzformációja és egyesítése érdekében kívánatos egy nagy, lapos koordináta-rendszer, a torzítások elkerülése érdekében. Így egyszerűsíthetők a számítások és az interakciók, melyeknek nem kell figyelembe venniük a különböző torzításokat.

Az alábbi táblázat egy sakktáblamintával mutat be különböző affin transzformációkat: identitást, eltolást, tükrözést, skálázást, forgatást és nyírást. A sakktábla bal oldala sötétebb, a tükrözés szemléltetésére:

Affin transzformáció	Mátrix	Példa
Identitás	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Eltolás	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& v_x>0\\ 0& 1& v_y=0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Tükrözés	$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Skálázás	$\left[\begin{array}{ccc}{c}_x=2& 0& 0\\ 0& c_y=1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Forgatás	$\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Nyírás	$\left[\begin{array}{ccc}1& c_x=0.5& 0\\ c_y=0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Kapcsolódó szócikkek

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin koordináták
• Tengelyes affinitás

Források

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992, Sablon:ISBN.
• Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976, Sablon:ISBN.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, Sablon:ISBN.