Egybevágóság

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel, illetve ezek kombinációjával fedésbe hozhatók.

A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Jelölések

$a$ és $b$ szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

$a\cong b$ vagy $b\cong a$

Tulajdonságai

• Legyenek $a$, $b$ tetszőleges egyenesek, $A$, $B$ az a egyenes tetszőleges pontjai, $A^{\prime }$ pedig a $b$ egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a $b$ egyenesen az $A^{\prime }$ pont egy adott oldalán pontosan egy olyan $B^{\prime }$ pont van, hogy $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$ teljesül.
• Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges $A$, $B$ pontokra teljesül, hogy $AB\cong AB$.
• Ha az $AB$ szakasz egybevágó az $A^{\prime }{B}^{\prime }$ szakasszal is és az $A^{″}{B}^{″}$ szakasszal is, akkor az $A^{\prime }{B}^{\prime }$ szakasz egybevágó az $A^{″}{B}^{″}$ szakasszal.
• Legyenek $AB$, $BC$ az $a$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az $AB$, $BC$ szakaszoknak a $B$ pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ az $a^{\prime }$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ szakaszoknak a $B^{\prime }$ pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$ és $BC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$, akkor $AC\cong A^{\prime }{C}^{\prime }$.
• Legyen $\mathrm{\angle }AOB$ egy tetszőleges szög az $\alpha$ síkon, ahol a $OA$ és $OB$ a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá $a^{\prime }$ a ${\alpha }^{\prime }$ sík egy tetszőleges egyenese és jelölje $O^{\prime }{A}^{\prime }$ az $a^{\prime }$ valamely $O^{\prime }$ pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az ${\alpha }^{\prime }$ síkon pontosan egy olyan, az $O^{\prime }$ pontból kiinduló $O^{\prime }{B}^{\prime }$ félegyenes létezik, amelyre az $\mathrm{\angle }AOB\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ (vagy $\mathrm{\angle }AOB\cong \mathrm{\angle }{B}^{\prime }{O}^{\prime }{A}^{\prime }$) egybevágóság teljesül és a $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ szög belső pontjai az $a^{\prime }$ egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
• Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges $\mathrm{\angle }AOB$ szögre $\mathrm{\angle }AOB\cong \mathrm{\angle }AOB$ teljesül.
• Ha az $\mathrm{\angle }AOB$ szög egybevágó a $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ szöggel is és az $\mathrm{\angle }{A}^{″}{O}^{″}{B}^{″}$ szöggel is, akkor a $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ szög egybevágó az $\mathrm{\angle }{A}^{″}{O}^{″}{B}^{″}$ szöggel.
• Legyen $ABC$ és $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC\cong A^{\prime }{C}^{\prime }$ és $\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ egybevágóságok, akkor az $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ és $\mathrm{\angle }ACB\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ egybevágóságok is teljesülnek.

Története

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül. A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták, ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

Hivatkozások

• David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.

További információk

• The SSS
• The SSA
• Egybevágó szögek interaktív animációval
• Egybevágó szakaszok interaktív animációval