Ív (geometria)

A zöld színnel megjelölt rész egy körcikk. Az L hosszúságú határoló görbe egy körív.

Az euklideszi geometriában az ív (jele: ⌒) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.

Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint $\pi$ radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint $\pi$ radián.

Körív

Körív hossza

Egy kör ívének hossza (pontosabban ívhossza) megadható az ív θ középponti szögének (radiánban mérve) és az r hosszúságú szögszárak (sugarak) által bezárt szög szorzataként:

$L=\theta r$.

Ez abból az aránypárból következik, hogy

$\frac{\text{ív}}{\text{kerület}}=\frac{\text{szög}}{\text{teljes szög}}$.

A kerületet és a teljes szög behelyettesítve azt kapjuk, hogy

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta }{2\pi }$.

ezt átrendezve kapjuk a fenti $L=\theta r$ egyenlőséget.

Ha a szöget nem radiánban mérjük, hanem fokban, akkor a harmadik egyenlet a következő alakú lesz:

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}$.

ezt átrendezve kapjuk, hogy

$L=\frac{\alpha \pi r}{180^{\circ }}$.

Példa

Ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor

$\begin{array}{cc}\frac{60}{360}& =\frac{L}{24}\\ 360L& =1440\\ L& =4.\end{array}$

Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.

Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:

$y=\sqrt{r^2-x^2}.$

Ekkor az ívhossz $x=a$-tól $x=b$-ig

$L=r[\arcsin \left(\frac{x}{r}\right){]}_a^b.$

Ívhez tartozó körcikk területe

Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):

$A=\frac{r^2\theta }{2}.$

Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:

$\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta }{2\pi }.$

$\pi$-vel egyszerűsítve:

$\frac{A}{r^2}=\frac{\theta }{2}.$

$r^2$-tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:

$A=\frac{1}{2}{r}^2\theta .$

A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe

$A=\frac{\alpha }{360}\pi r^2.$

Ívhez tartozó körszelet területe

Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe

$\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta ).$

Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az $A$ területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.

Ívhez tartozó sugár

Az AP és PB szakaszok szorzata egyenlő a CP és PD szakaszok szorzatával. Amennyiben az ívhez tartozó húr hossza AB és a körívtetőpont magassága CP, a kör átmérője $CD=\frac{AP\cdot PB}{CP}+CP$

A húrtétel (más néven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:

Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza $\frac{W}{2}$. Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része, $2r-H$. A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy

$H(2r-H)={\left(\frac{W}{2}\right)}^2,$

amiből

$2r-H=\frac{W^2}{4H},$

így

$r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}.$

Parabolaív

A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület): Sablon:Bővebben

Fordítás

• Sablon:Fordítás