Hasonlóság (mátrixok)

Két $n\times n$ mátrix $A$ és $B$ akkor hasonló, ha létezik egy invertálható $n\times n$ mátrix $P$, ami teljesíti a következő egyenletet:

$B=P^{-1}AP$.

A $P$ mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.

A hasonlóságot helyenként $A\cong B$ vagy $A\sim B$ módon jelölik.

Tulajdonságok

A hasonlóság egy ekvivalenciareláció:

• Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló $A\cong A$.

  Bizonyítás: $A=I_n^{-1}A{I}_n$, ahol $I_n$ az egységmátrixot jelöli.

• Szimmetrikus: ha $A\cong B$, akkor $B\cong A$.

  Bizonyítás: $B=P^{-1}AP\to PB=AP\to PB{P}^{-1}=A$

• Tranzitív: ha $A\cong B$ és $B\cong C$ akkor $A\cong C$.

  Bizonyítás: $B$ kifejezhető mint $B=P_1^{-1}A{P}_1$ és $C$ mit $C=P_2^{-1}B{P}_2$. $C$ újraírható mint $C=P_2^{-1}{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2$. Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben $P=P_1{P}_2$.

Ha két mátrix $A$, $B$ hasonló $A\cong B$, akkor

• A rangok azonosak: $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}A=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}B$.

  Bizonyítás: a kifejezés $B=P^{-1}AP$ átírható mint $PB=AP$. Mivel $P$ invertálható, ezért a rangja $n$.

$\begin{array}{cc}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(PB)& =\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(AP)\\ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}B& =\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}A\end{array}$

• A determinánsok azonosak: $\det A=\det B$.

  Bizonyítás:

$\begin{array}{cc}\det B& =\det (P^{-1}AP)\\ & =\det P^{-1}\det A\det P=(\det P{)}^{-1}\det A\det P\\ & =\det A\end{array}$

• A nyomok azonosak: $\mathrm{t}\mathrm{r}A=\mathrm{t}\mathrm{r}B$.

  Bizonyítás:

$\begin{array}{cc}\mathrm{t}\mathrm{r}B& =\mathrm{t}\mathrm{r}(P^{-1}AP)\\ & =\mathrm{t}\mathrm{r}(P{P}^{-1}A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(I_{n}A)\text{ (A nyomok ciklikus tulajdonsága)}\\ & =\mathrm{t}\mathrm{r}A\end{array}$

• A karakterisztikus polinomok azonosak: $p_A(t)=p_B(t)$.

  Bizonyítás:

$\begin{array}{cc}{p}_B(t)& =\det (t{I}_n-B)\\ & =\det (P^{-1}t{I}_{n}P-P^{-1}AP)\\ & =\det (P^{-1}(t{I}_n-A)P)\\ & =\det P^{-1}\det (t{I}_n-A)\det P=(\det P{)}^{-1}\det (t{I}_n-A)\det P\\ & =\det (t{I}_n-A)=p_A(t)\end{array}$

• Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
• Jordan-féle normálformák azonosak.

Példa

A két $2\times 2$ mátrix $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 4\end{array}\right]$ és $B=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ \frac{1}{4}& 3\end{array}\right]$ hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben $P=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 4\end{array}\right]$.

$\begin{array}{cc}B& =P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 0\\ -\frac{1}{12}& \frac{1}{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ \frac{1}{4}& 3\end{array}\right]\end{array}$

• Rang
  • $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}A=2$
  • $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}B=2$
• Determináns
  • $\det A=2\cdot 4-3\cdot 0=8$
  • $\det B=3\cdot 3-4\cdot \frac{1}{4}=8$
• Nyom
  • $\mathrm{t}\mathrm{r}A=2+4=6$
  • $\mathrm{t}\mathrm{r}B=3+3=6$
• Karakterisztikus polinom
  • $p_A(t)=(2-t)(4-t)-3\cdot 0=t^2-6t+8$
  • $p_B(t)=(3-t)(3-t)-4\cdot \frac{1}{4}=t^2-6t+8$

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:Pelikán §2