Hibaterjedés

Egy adott $f(x)$ függvényen való hibaterjedés két változó esetén. A származtatott mennyiség ${\sigma }_f$ szórását alapvetően befolyásolja az $f(x)$ függvény deriváltja a változó középértéke helyén. A lineáris közelítés akkor jogos, ha a $f(x)$ (sárga) és a deriváltja (zöld szaggatott) nem térnek el egymástól számottevően a változó átlaga körüli ${\sigma }_x$ környezeten belül

A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.

Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az $I$ átfolyó áramot, és annak $\mathrm{\Delta }I$ bizonytalanságát, továbbá az első $U$ feszültséget, és annak $\mathrm{\Delta }U$ bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló $R=f(U,I)=\frac{U}{I}$ összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás $\mathrm{\Delta }R$ bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például $f=AB$ alakú összefüggés esetén $f$ hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.

A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:

• A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
• A származtatott mennyiség kifejezését megadó $f$ összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.

Számolási módja

Lineáris kombináció esetén

A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó $f$ összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen $\{f_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)\}$ m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely $x_1,x_2,\dots ,x_n$ változók lineáris kombinációjaként áll elő $A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn}$ együtthatókkal, ahol $(k=1,\dots ,m)$, azaz:

$f_k=\sum _{i=1}^n{A}_{ki}{x}_i$, illetve mátrixjelöléssel: $\mathrm{f}=\mathrm{A}\mathrm{x}$

Legyen ${\mathrm{\Sigma }}^x$a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$:

${\mathrm{\Sigma }}^x=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}& \cdots \\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_2^2& {\sigma }_{23}& \cdots \\ {\sigma }_{13}& {\sigma }_{23}& {\sigma }_3^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Sigma }}_1^x& {\mathrm{\Sigma }}_{12}^x& {\mathrm{\Sigma }}_{13}^x& \cdots \\ {\mathrm{\Sigma }}_{12}^x& {\mathrm{\Sigma }}_2^x& {\mathrm{\Sigma }}_{23}^x& \cdots \\ {\mathrm{\Sigma }}_{13}^x& {\mathrm{\Sigma }}_{23}^x& {\mathrm{\Sigma }}_3^x& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$.

Az $f$ függvény ${\mathrm{\Sigma }}^f$ kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:

${\mathrm{\Sigma }}_{ij}^f=\sum _k^n\sum _{\ell }^n{A}_{ik}{\mathrm{\Sigma }}_{k\ell }^x{A}_{j\ell }$, illetve mátrixjelöléssel: ${\mathrm{\Sigma }}^f=\mathrm{A}{\mathrm{\Sigma }}^x{\mathrm{A}}^{\mathrm{\top }}$.

A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az $x_1,x_2,\dots ,x_n$ változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:

${\mathrm{\Sigma }}_{ij}^f=\sum _k^n{A}_{ik}{\mathrm{\Sigma }}_k^x{A}_{jk}$,

ahol ${\mathrm{\Sigma }}_k^x={\sigma }_{x_k}^2$ az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.

Skalárértékű $f$ függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:

$f=\sum _i^n{a}_i{x}_i:f=\mathrm{a}x$,

${\sigma }_f^2=\sum _i^n\sum _j^n{a}_i{\mathrm{\Sigma }}_{ij}^x{a}_j=\mathrm{a}{\mathrm{\Sigma }}^x{\mathrm{a}}^{\mathrm{\top }}$,

ahol a sorvektor. A ${\sigma }_{ij}$ kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő ${\rho }_{ij}$ Pearson-féle korrelációs együtthatóval: ${\sigma }_{ij}={\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j$, melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:

${\sigma }_f^2=\sum _i^n{a}_i^2{\sigma }_i^2+\sum _i^n\sum _{j(j\ne i)}^n{a}_i{a}_j{\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j$,

mely független változók esetén:

${\sigma }_f^2=\sum _i^n{a}_i^2{\sigma }_i^2.$

Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható

${\sigma }_f=\sqrt{n}a\sigma$.

Nemlineáris összefüggéseknél

Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az $f$ függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:

$f_k\approx f_k^0+\sum _i^n\frac{\partial f_k}{\partial x_i}{x}_i$,

ahol $\partial f_k/\partial x_i$ az $f_k$ függvény $x_i$ szerinti parciális deriváltjának $x_i$ átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:

$\mathrm{f}\approx {\mathrm{f}}^0+\mathrm{J}\mathrm{x}$

ahol $\mathrm{J}$ a Jacobi-mátrix. Mivel $f^0$ konstans, ezért nem járul hozzá $f$ hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az $A_{ik},A_{jk}$ együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett $\frac{\partial f_k}{\partial x_i},\frac{\partial f_k}{\partial x_j}$ értékei lépnek, így:

${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{f}}=\mathrm{J}{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{x}}{\mathrm{J}}^{\mathrm{\top }}.$

Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az $x_i$-k kovarianciamátrixának transzformációja.

Gauss-hibaterjedési formula

A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris $f$ hibájának becslésére, hogy $x_i$ változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:

$s_f\approx \sqrt{\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{s}_{x_i}^2}$

ahol $s_f$ az $f$ szórása, $s_{x_i}$ pedig az $x_i$ szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az $s_x,s_y,s_z,\dots$ szórások nem olyan nagyok, hogy az $f$ lineáris közelítése egy $s_x,s_y,s_z,\dots$ sugarú környezetében nem tér el számottevően $f$-től.

Gyakori példák

Az alábbi táblázat a ${\sigma }_A,{\sigma }_B$ relatív szórásokkal és ${\sigma }_{AB}$ kovarianciával jellemzett $A,B$ valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.

Összefüggés	Szórásnégyzet	Szórás
$f=aA$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2$	${\sigma }_f=|a|{\sigma }_A$
$f=aA+bB$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2+2ab{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2+2ab{\sigma }_{AB}}$
$f=aA-bB$	${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2-2ab{\sigma }_{AB}$	${\sigma }_f=\sqrt{a^2{\sigma }_A^2+b^2{\sigma }_B^2-2ab{\sigma }_{AB}}$
$f=AB$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2+2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2+2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}}$
$f=\frac{A}{B}$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2-2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_B}{B}\right)}^2-2\frac{{\sigma }_{AB}}{AB}}$
$f=a{A}^b$	${\sigma }_f^2\approx {\left(ab{A}^{b-1}{\sigma }_A\right)}^2={\left(\frac{fb{\sigma }_A}{A}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|ab{A}^{b-1}{\sigma }_A\right|=\left|\frac{fb{\sigma }_A}{A}\right|$
$f=a\ln (bA)$	${\sigma }_f^2\approx {\left(a\frac{{\sigma }_A}{A}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|a\frac{{\sigma }_A}{A}\right|$
$f=a{\log }_{10}(A)$	${\sigma }_f^2\approx {\left(a\frac{{\sigma }_A}{A\ln (10)}\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|a\frac{{\sigma }_A}{A\ln (10)}\right|$
$f=a{e}^{bA}$	${\sigma }_f^2\approx f^2{\left(b{\sigma }_A\right)}^2$	${\sigma }_f\approx \left|f\left(b{\sigma }_A\right)\right|$
$f=a^{bA}$	${\sigma }_f^2\approx f^2(b\ln (a){\sigma }_A{)}^2$	${\sigma }_f\approx |f(b\ln (a){\sigma }_A)|$
$f=a\sin (bA)$	${\sigma }_f^2\approx {[ab\cos (bA){\sigma }_A]}^2$	${\sigma }_f\approx |ab\cos (bA){\sigma }_A|$
$f=a\cos \left(bA\right)$	${\sigma }_f^2\approx {[ab\sin (bA){\sigma }_A]}^2$	${\sigma }_f\approx |ab\sin (bA){\sigma }_A|$
$f=A^B$	${\sigma }_f^2\approx f^2[{\left(\frac{B}{A}{\sigma }_A\right)}^2+{(\ln (A){\sigma }_B)}^2+2\frac{B\ln (A)}{A}{\sigma }_{AB}]$	${\sigma }_f\approx \left|f\right|\sqrt{{\left(\frac{B}{A}{\sigma }_A\right)}^2+{(\ln (A){\sigma }_B)}^2+2\frac{B\ln (A)}{A}{\sigma }_{AB}}$

Ha az $A,B$ változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla (${\rho }_{AB}=0$) akkor ${\sigma }_{AB}={\rho }_{AB}{\sigma }_A{\sigma }_B$ alapján a kovarianciájuk is nulla: ${\sigma }_{AB}=0$.

Függetlenségnél és az $f=AB$ összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:

$V(XY)=E(X{)}^{2}V(Y)+E(Y{)}^{2}V(X)+E((X-E(X){)}^2(Y-E(Y){)}^2)$,

melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:

${\sigma }_f^2=A^2{\sigma }_B^2+B^2{\sigma }_A^2+{\sigma }_A^2{\sigma }_B^2$

Források

Szakkönyvek

• Sablon:Hivatkozás/Könyv

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite web

Kapcsolódó szócikkek

• Mérési hiba
• Kovariancia