Einstein-modell

A Debye-modellből és az Einstein-modellből számolható, hőmérsékletfüggő hőkapacitás összevetése.

A szilárdtestfizikában és statisztikus fizikában alkalmazott Einstein-modell segítségével a szilárdtestek fajhőjének klasszikus leírásából adódó ellentmondások oldhatók fel. A kvantummechanikán alapuló modell az alábbi két főbb feltevésen alapul:

• a rács minden atomja független, háromdimenziós harmonikus oszcillátorként viselkedik, és
• minden oszcillátor azonos frekvenciával rezeg.

Bár a modell nem veszi figyelembe a hosszúhullámú rezgések hatását (melyek a rácsban terjedő hanghullámoknak illetve hosszúhullámú fononoknak felelnek meg), viszont kellőképpen pontos közelítést ad a szilárdtestek fajhőjére magasabb hőmérsékleten. A kísérletek azt mutatják, hogy a szilárdtestek fajhője a hőmérséklet csökkenésével csökken, 0 K hőmérsékleten pedig eltűnik. A klasszikus modell ezt nem képes megmagyarázni, míg az Einstein-modell egyes esetekben pontos leírást ad a fajhő hőmérsékletfüggésére.

Kapcsolat a klasszikus modellel

Ma klasszikus fizikaként emlegetett, a zömében 20. század előtti fizikai felfogásokból álló világkép egyik komoly ellentmondása volt, hogy a szilárdtestek fajhője nem követi a Dulong–Petit-szabályt. Utóbbi a kinetikus elméletből az ekvipartíció tételének felhasználásával a teljes energiára az alábbi kifejezést vezeti le:

$E=3Np{k}_{B}T$.

Ebből a hőkapacitás a definíció alapján:

$C_V=\frac{\partial E}{\partial T}=3Np{k}_B$.

Ebből az egyatomos szilárd test moláris hőkapacitása $C_V=3pR$, ahol $R$ az egyetemes gázállandó. A kifejezés tehát láthatóan nem hőmérsékletfüggő végeredményt ad.

Albert Einstein 1907-ben azt javasolta, hogy a rácsrezgéseket a Planck-féle kvantum-hipotézisnek megfelelően szintén kvantált mennyiségnek képzeljük ez, azaz hogy a rácsrezgések frekvenciája csak diszkrét kvantumokban változhat. Így a rácsrezgés energiája is kvantált: ${\epsilon }_n=nh\nu$, ahol $n$ egész szám, $h$ a Planck-állandó, $\nu$ pedig a frekvencia. A statisztikus fizikából ismert $Z=\sum _n{e}^{-{\epsilon }_n/k_{B}T}$ állapotösszeggel és a szokásos $\beta =1/k_{B}T$ jelöléssel egy adott módus energiaátlaga $⟨\epsilon ⟩=-\frac{d}{d\beta }\ln Z$. A rácspontokban harmonikus oszcillátorokat képzelt el, melyekre ez az energiaátlag:

$⟨\epsilon ⟩=\frac{k\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}$.

Einstein továbbá feltette, hogy minden atom egymástól független oszcillátor, melynek rezgése egységesen ${\nu }_E$, azaz a diszperziós relációban a frekvencia hullámszámtól való függetlenségét látjuk. A rácsban $Np$ darab atom van, melyek egyesével 3 független irányban képesek rezgésre, így a rács teljes belső energiája $E=3Np⟨\epsilon ⟩$. Einstein a fajhőt ebből származtatta:

$C_V=\frac{\partial E}{\partial T}=3Np{k}_B\cdot {\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}^2\cdot \frac{e^{\hslash {\omega }_E/k_{B}T}}{(e^{\hslash {\omega }_E/k_{B}T}-1{)}^2}=3Np{k}_B\cdot F_E\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)$,

ahol $F_E(x)=\frac{x^2{e}^x}{(e^2-1{)}^2}$ az Einstein-függvény.

Bár az Einstein-modell eredményei pontosabban egyeznek a kísérletekkel, mint a klasszikus számítás, viszont érvénye csak a magasabb hőmérsékletű rácsokra terjed ki. Újabb, alacsony hőmérsékletű mérések rámutattak, hogy a modell azon feltevése, hogy a rács atomjai független és azonos frekvenciájú oszcillátorok, nem vezet helyes eredményre a fajhővel kapcsolatban, ugyanis figyelmen kívül hagyja a hosszúhullámú, akusztikus módusoknak megfelelő, könnyen gerjeszthető rácsrezgéseket.

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib