Valószínűségi tömegfüggvény

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel. A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.

Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez$\frac{1}{6}$-ot, ezen kívül nullát rendel.

A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.

Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1

Formális meghatározás

Dobókocka tömegfüggvénye

Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.

Tegyük fel, hogy X: S → A (A $\subseteq$ R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény f_X: A → [0, 1] ahol X:

$f_X(x)=\mathrm{Pr}(X=x)=\mathrm{Pr}(\{s\in S:X(s)=x\}).$

A valós számokra kiterjesztve a definíció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}P(X=x_i)=p_i,& x=x_i\in \{x_1,x_2,\dots ,x_k\dots \}\\ 0,& \text{ különben.}\end{array}$

Jegyezzük meg: f_X valós szám, f_X(x) = 0 minden x $\notin$ X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → Aⁿ, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

$\sum _{x\in A}{f}_X(x)=1$

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény f_X(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Valószínűségeloszlás konstrukciója

Adva legyen az $f:\mathbb{N}\to ℝ$ függvény, amit jellemeznek a következők:

• $f(i)\in [0,1]$ minden $i\in \mathbb{N}$ esetén. Tehát $f$ minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot.
• $f$ normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(i)=1$.

Ekkor $f$ valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója

$P(\{i\}):=f(i)$ minden $i\in \mathbb{N}$ esetén egy egyértelmű $P$ valószínűségeloszlás, ellátva a $𝒫(\mathbb{N})$ eseményalgebrával.

Valószínűségeloszlásból származtatva

Adva legyen egy $P$ valószínűségeloszlás az $\mathbb{N}$ természetes számokon, ellátva a $𝒫(\mathbb{N})$ eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az $\mathbb{N}$ halmazból! Ekkor az $f_P:\mathbb{N}\to ℝ$ függvény, aminek definíciója

$f_P(i):=P(\{i\})$

a $P$ valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az $f_X:\mathbb{N}\to ℝ$ függvény az

$f_X(i):=P(X=i)$

definícióval az $X$ valószínűségi tömegfüggvénye.

Példák

Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& x\in \{0,1\},\\ 0,& x\notin \{0,1\}.\end{array}$

Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

$f_{n,p}(k)=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}& \text{ ha }k\in \{0,1,\dots ,n\}\\ 0& \text{ egyébként}\end{array}$

ahol $n$ és $p\in (0,1)$ az eloszlás paraméterei ( $n$ természetes, $p\in (0,1)$ valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_{n,p}(k)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=((1-p)+p{)}^n=1$.

A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

$f_p(k)=p(1-p{)}^k$ ha $k\in \{0,1,2,\dots \}$

egy rögzített $p\in (0,1)$ paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_p(k)=p\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k=\frac{p}{1-(1-p)}=1$.

Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény

A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen $\mathrm{\Omega }$ egy ilyen halmaz, és legyen $f:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$ függvény úgy, hogy

$\sum _{i\in \mathrm{\Omega }}f(i)=1$,

ekkor $f$ alapján definiálható egy eloszlás:

$P(\{i\}):=f(i)$ minden $i\in \mathrm{\Omega }$ valós számra.

Ez az eloszlás egyértelmű az $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }))$ eseményalgebrán.

Megfordítva, ha $P$ valószínűségeloszlás az $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }))$ eseményalgebrán, és $X$ egy valószínűségi változó, amely értékeit az $\mathrm{\Omega }$ halmazból veszi fel, akkor az $f_P:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$ függvény, amelynek definíciója

$f_P(i):=P(\{i\})$,

a $P$ valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az $X$ valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy $f_X:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$ függvény:

$f_X(i):=P(X=i)$

Alternatív definíció

Egyes szerzők először definiálják a $(p_i{)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ valós sorozatokat azzal, hogy $p_i\in [0,1]$ minden $i\in \mathrm{\Omega }$ esetén és $\sum _{i\in \mathrm{\Omega }}{p}_i=1$. Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknak vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.

Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy $f:\mathrm{\Omega }\to [0,1]$ függvény, melynek definíciója

$f(i)=p_i$ minden $i\in \mathrm{\Omega }$ esetén. Megfordítva, minden $\mathrm{\Omega }$n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy $(P(\{i\}){)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ fölötti valószínűségi vektor, illetve $(P(X=i){)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ valószínűségi vektor.

Vannak továbbá szerzők, akik magát a $(p_i{)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.

További példák

Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges $\mathrm{\Omega }$ halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

$f(i)=\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}$ minden $i\in \mathrm{\Omega }$ esetén.

Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen $(a_i{)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az $\mathrm{\Omega }$ indexhalmazzal, azzal együtt, hogy

$\sum _{i\in \mathrm{\Omega }}{a}_i<\mathrm{\infty }$.

Ekkor

$c=\sum _{i\in \mathrm{\Omega }}{a}_i$.

Ezzel $(\frac{a_i}{c}{)}_{i\in \mathrm{\Omega }}$ sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az

$a_k:=\frac{{\lambda }^k}{k!}$ ha $k\in \mathbb{N}$,

sorozatot tekintjük, akkor

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{\lambda }$ a normálási konstans.

Tehát a valószínűségi tömegfüggvény

$f(k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$, ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye.

Valószínűségi változók mérőszámai

A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján.

Várható érték

Ha $X$ valószínűségi változó $\mathbb{N}$-beli értékekkel, és $f_X$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke

$\mathrm{E}(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\cdot f_X(k)$.

Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.

A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen $\mathrm{\Omega }\subset ℝ$ legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az $X$ valószínűségi változó $\mathrm{\Omega }$-beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye $f_X$, ekkor a várható érték, ha létezik, akkor

$\mathrm{E}(X)=\sum _{k\in \mathrm{\Omega }}k\cdot f_X(k)$.

Szórás

A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen $X$ valószínűségi változó $\mathbb{N}$-beli értékekkel, és $f_X$ valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k-\mu {)}^2{f}_X(k)$,

ahol $\mathrm{E}(X)=\mu$ a várható érték.

Az eltolási tételt felhasználva

$\mathrm{Var}(X)=-{\mu }^2+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2{f}_X(k)$

Hasonlóan, ha az értékek $\mathrm{\Omega }$-ból valók:

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{k\in \mathrm{\Omega }}(k-\mu {)}^2{f}_X(k)$

feltéve, ha a szórás létezik.

Módusz

A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az $X$ valószínűségi változó $\mathbb{N}$-ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye $f$, akkor módusza $k_{\text{mod}}=f(k-1)\le f(k_{\text{mod}})\ge f(k+1)$.

A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén

$k_{\text{mod}}=f(k-1)\le f(k_{\text{mod}})\ge f(k+1)$.

Általában, ha $\mathrm{\Omega }$ legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az $x_k$ sorozatba úgy, hogy $\dots <x_{k-1}<x_k<x_{k+1}<\dots$, akkor $x_k$ módusz, hogyha

$f(x_{k-1})\le f(x_k)\ge f(x_{k+1})$

Tulajdonságok

Eloszlásfüggvények

Ha $f$ valószínűségi tömegfüggvény $\mathbb{N}$-en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint

$F_P(x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }f(i)$

ahol $\lfloor x\rfloor$ az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb $x$-nél (kisebb, vagy egyenlő vele).

Ha $f$ a legfeljebb megszámlálható végtelen $A\subset ℝ$ halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye

$F_P(x)=\sum _{i\le x}f(i)$.

Például lehet $A=\mathbb{Z}$, vagy $A=\mathbb{Q}$.

Valószínűségi változók összege és konvolúciója

A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek $P,Q$ valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre $f_P$ és $f_Q$, ekkor

$f_{P*Q}=f_P*f_Q$,

ahol $P*Q$ a $P$ és $Q$, $f*g$ az $f$ és $g$ konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.

Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha $X,Y$ független valószínűségi változók rendre az $f_X$ és $f_Y$ valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor

$f_{X+Y}=f_X*f_Y$.

Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója.

Valószínűséggeneráló függvény

$\mathbb{N}$-en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció

$m_P(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_P(k)t^k$,

ahol $f_P$ egy $P$ valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.

A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Kapcsolódó szócikkek

• Binomiális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika