Eseményalgebra

Az eseményalgebra a valószínűségszámításban egy halmazalgebra, ami egy eseménytér felett értelmezett eseményeket elemekként tartalmazza. Legfeljebb megszámlálható végtelen eseménytér felett minden halmaz eseménynek tekinthető, de egyébként nem, ahogy azt a Vitali-tétel is megmutatja. Ez azt a negatív eredményt mondja ki, hogy nem megszámlálható térben nem lehet minden halmaz mérhető, így nem lehet minden halmazhoz valószínűséget rendelni.

Definíció

Adva legyen egy $\mathrm{\Omega }$ eseménytér, ami magában foglalja a vizsgált véletlen kísérletek lehetséges kimeneteleit. Ekkor az $\mathrm{\Omega }$ alaphalmazon $\mathrm{\Sigma }$ σ-algebra eseményalgebra, amit neveznek eseményrendszernek is. Néha az $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ párost nevezik eseménytérnek, melynek megfelelője a mértékelméletben a mérhető tér.

Hierarchia

• A kimenetelek az eseménytér és az események elemei.
• Az események az eseménytér részhalmazai és az eseményalgebrák elemei. Elemeik a kimenetelek.
• Az eseményalgebrák a hatványhalmaz részhalmazai.

Különbséget kell tenni az $\omega$ kimenetel és az $\{\omega \}$ esemény között, habár ezt gyakran elhanyagolják.

Példa

Tekintsük az $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3\}$ eseményteret, ennek elemei ${\omega }_1=1,{\omega }_2=2,{\omega }_3=3$. Egy lehetséges eseményalgebra

${\mathrm{\Sigma }}_1:=\{\mathrm{\Omega },\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2,3\}\}$.

Ez a példa azt is mutatja, hogy nem kell az eseménytér minden elemének eseménynek lennie.

A σ-algebra szükségessége

A véletlen kísérletek modellezésére σ-algebrára van szükség a következők miatt:

• A biztos eseménynek (valami történik) eseménynek kell lennie, és ehhez az 1 valószínűséget rendelni.
• Ha egy $A$ halmaz esemény, akkor nem bekövetkezésének is eseménynek kell lennie, mivel hozzárendelhető $1-P(A)$, mint valószínűség. Így egy esemény komplementere is esemény.
• Ha az $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eseményekből legfeljebb megszámlálható végtelen van, akkor annak is eseménynek kell lennie, hogy legalább egyikük bekövetkezik. Így az eseményalgebrának zártnak kell lennie a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen unióra is.

Kanonikus eseményalgebrák

Véges és megszámlálható végtelen eseménytér esetén választható a teljes σ-algebra, mivel ez még nem vezet ellentmondásra. Eszerint minden részhalmaz esemény. Például, ha az alaphalmaz $\mathbb{N}$, akkor az eseményalgebra $𝒫(\mathbb{N})$.

Valós eseményhalmazokon, amelyek a valós számokat tartalmazzák, vagy annak nem megszámlálható részét, például intervallumot, vagy félegyenest, akkor az adott halmaz Borel-algebráját tekintik, ami ugyan sokkal kisebb, mint a teljes hatványhalmaz, de tartalmaz minden naiv módon konstruálható halmazt (de Vitali-halmazokat nem). Tetszőleges topologikus téren konstruálható Borel-algebra.

Ha az eseménytér több eseménytér szorzata, akkor a szorzat-σ-algebra lesz az eseményalgebra.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book