Nyújtott exponenciális függvény

A nyújtott exponenciális függvény az exponenciális függvény kiegészítése egy járulékos paraméterrel, ahol a kiterjesztő paraméter, a β:

$\phi (t)=e^{-{\left(t/{\tau }_K\right)}^{\beta }}$. A legtöbb alkalmazásban a t argumentumnak csak 0 és +∞ között van értelme. β=1 esetén a standard exponenciális függvényt kapjuk. 0 és 1 közötti β értékeknél, a φ(t) - log(t) görbe megnyúlik, kiterjed, innen kapta a nevét. Az összenyomott exponenciális függvény (β>1 esetén) kisebb gyakorlati jelentőséggel bír, egy nevezetes kivétel a β=2, mely a normál eloszlás.

Matematikában a nyújtott exponenciális függvény, a komplementer kumulatív Weibull-eloszlásként ismert.

Továbbmenve, a nyújtott exponenciális függvény, a szimmetrikus alfa-stabil Lévy-eloszlás karakterisztikus függvénye.

Fizikában a nyújtott exponenciális függvényt gyakran használják rendezetlen rendszerek relaxációjának fenomenológiai leírására.

Ezt először Rudolf Kohlrausch vezette be 1854-ben, amikor leírta a kondenzátor kisülését. és ezért ezt Kohlrausch-függvénynek is hívják. 1970-ben G. Williams és D.C. Watts a nyújtott exponenciális függvény Fourier-transzformációját alkalmazta a polimerek dielektromos elemzésénél. Ebben a kontextusban a nyújtott exponenciális, vagy annak Fourier transzformáltját Kohlrausch–Williams–Watts-függvénynek (KWW) is hívják.

Eloszlás függvény

A fizika néhány területén a nyújtott exponenciális függvény alkalmazása gyakran indokolt, mint például az egyszerű exponenciális bomlás lineáris szuperpozíciója.

Ez igényli a relaxációs idők nem triviális eloszlását, ρ(u), melynek definíciója: $e^{-t^{\beta }}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}du\rho (u)e^{-t/u}$. az eloszlás:

$G=u\rho (u)$

A p a következő kifejezésből számítható: : $\rho (u)=-\frac{1}{\pi u}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}\sin (\pi \beta k)\mathrm{\Gamma }(\beta k+1)u^{\beta k}$

A következő két ábra hasonló eredményeket mutat, mind lineáris, mind logaritmikus megjelenítésben. A görbék a Dirac-delta-függvényhez konvergálnak, melynek u=1-nél van maximum, ahogy a β tart az 1-hez, megfelelve az egyszerű, vagy standard exponenciális függvénynek.

A nyújtott exponenciális függvény lineáris megjelenítése

A nyújtott exponenciális függvény logaritmikus megjelenítése

Átlagos relaxációs idő

A φ(t) görbe alatti területe értelmezhető az átlagos (középérték) relaxációs időnek: $⟨\tau ⟩\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-{\left(t/{\tau }_K\right)}^{\beta }}=\frac{{\tau }_K}{\beta }\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{\beta })$ ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény. Az exponenciális bomláshoz $⟨\tau ⟩={\tau }_K$

Magasabb momentumok

A nyújtott exponenciális függvény magasabb momentumai : $⟨{\tau }^n⟩\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{t}^{n-1}{e}^{-{\left(t/{\tau }_K\right)}^{\beta }}=\frac{{{\tau }_K}^n}{\beta }\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{\beta })$. Ez szorosan kapcsolódik az egyszerű exponenciális relaxációs idők momentumaihoz:

$⟨{\tau }^n⟩=\mathrm{\Gamma }(n)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau t^n\rho (\tau )$.

Az egyszerű exponenciális relaxációs idők első logaritmikus momentum: $⟨\ln \tau ⟩=(1-\frac{1}{\beta })\mathrm{E}\mathrm{u}+\ln {\tau }_K$ ahol Eu az Euler állandó, azaz az Euler-féle szám

Fourier Transzformáció

A spektroszkópia eredményeinek, vagy a rugalmatlan szórás leírásához, a nyújtott exponenciális függvény szinusz - vagy koszinusz Fourier transzformációjára van szükség.

Ezt numerikus integrálással vagy sorozatokkal lehet kiszámítani. . A sorozatok alkalmazásának speciális esete a Fox-Wright függvény.

Gyakorlati okokból, a Fourier transzformációt a Havriliak-Negami függvénnyel lehet közelíteni.

Történelem és további alkalmazások

A nyújtott exponenciális függvényt Rudolf Kohlrausch német fizikus vezette be 1854-ben, amikor leírást készített a kondenzátor kisüléséről, dielektrikumnak üveget használt.

A következő dokumentált felhasználás Friedrich Kohlrauschtól származik, aki a torziós relaxációt írta le. Friedrich Kohlrausch, Rudolf Kohlrausch fia volt.

A. Werner 1907-ben a komplex lumineszcens lebomlás leírására használta a nyújtott exponenciális függvényt.

1949-ben Theodor Förster a fluoreszkálás bomlási törvényénél alkalmazta.

A fizikában a Naprendszer kis sugárzó testei távolodási sebességének leírására is alkalmazzák a nyújtott exponenciális függvényt, valamint diffúzió-súlyozott MRI jeleknél, az agyban.

Források

• Sablon:CitLib